Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
опять не включая в рассмотрение дисперсионное соотношение. Соотношения
между а2, а3, • • т]г? 4131 • • - и а, т] можно либо найти из (14.49) или
(14.51), либо оставить произвольными и также определить при помощи
вариационного принципа. Например, в случае уравнения Клейна - Гордона с V
(<р) вида (14.10) положим
Ф(0> = a cos 0 + а3 cos 30 + а5 cos 50 + . . . .
(Легко видеть заранее, что достаточно использовать только члены нечетных
порядков.) Тогда *)
2л
Щ = J- | 11 к2) ф(0) __ ф(0|2- оф( 0,4 =
о
= ±(v2_^2_l)a2_3^+(2fl,2_-l.oa3a3)_|_
Вариация по а3 показывает, что а3 = V8 аа3, что согласуется с разложением
(14.11). Подставив это выражение для а3 в L<0), получим
X (v, к, а) = */4 (v2~k2~ 1) а2- 3/sOai - l/32a2a6 + ... , (14.52)
Вариация по а теперь дает дисперсионное соотношение (14.12).
В полностью нелинейном случае труднее отделить функциональную форму
функции Ф<0> от дисперсионного соотношения. Однако это можно сделать,
записав уравнения в виде уравнений Гамильтона.
Преобразование Гамильтона
Это преобразование будет применено здесь только к приближению низшего
порядка (14.47) - (14.51), так что для упрощения обозначений мы опустим у
всех величин индекс нуль. Идея состоит в исключении величины Фе в пользу
производной дЫдФе точно
так же, как в обычной механике q исключается в пользу обобщенного
импульса р = dLldq. Новая переменная определяется как
n=^ = vL' + fcL2, (14.53)
а гамильтониан Н (П, Ф; v, к) определяется формулой
Я = Ф в~ L = Фе vLi + kb2-L. (14.54)
*) Член, пропорциональный (v2 - к2 - 1) а|, опущен, поскольку из
последующих уравнений^ видно, что v2 - к2 - 1 - 0 (а2).
Гл. 14. Нелинейная дисперсия
480
Согласно определению преобразования, дФ _ дН дв ~ дП '
и, в силу (14.49),
дП дН
дв ~ дФ~"
Эти равенства заменяют уравнение второго порядка (14.49) для Ф двумя
уравнениями первого порядка для Ф и П. Теперь можно переписать
вариационный принцип (14.47) с учетом того, что
2Л
1 = ^- j (ПФе-Я)йе. (14.57)
о
Кроме того, возможно важное обобщение. В исходной форме вариация 6Фе
связана с 6Ф; следовательно, вариация 6П связана с вариацией по Ф
равенством (14.53) и уравнение (14.55) является следствием
преобразования, а не вариационным уравнением. Однако заметим просто, что
как (14.55), так и (14.56) следуют из
(14.57), если Ф и П варьируются независимо. Мы, следовательно, вправе
сделать такое обобщение. Далее следует заметить, что
(14.51) представляет собой не что иное, как интеграл энергии
Н (П, Ф; v, к) = А (X, Т) (14.58)
для системы (14.55) - (14.56). Более того, равенство (14.58) определяет
функцию
П (Ф; v, к, А).
Без использования связи П с Фе, которая теперь рассматривается как одно
из вариационных уравнений, невозможно вывести еще и дисперсионное
соотношение. Таким образом, достигнуто желаемое разделение уравнения
(14.51) на информацию о форме решений (теперь даваемую зависимостью П от
Ф) и дисперсионное соотношение. Наконец, поскольку стационарные значения
выражения
(14.57), как мы знаем, удовлетворяют равенству (14.58), можно
ограничиться вариациями функций, уже удовлетворяющих равенству (14.58).
Тогда усредненный лагранжиан (14.57) оказывается равным
X (v, к, А) = 1П (Ф; v, к, А) ёФ - А, (14.59)
где П (Ф; v, fc, Л) - функция, определяемая из равенства (14.58).
Вариационный принцип принимает вид
б J j X (v, к, A) dX dT = 0.
(14.55)
(14.56)
14.6. Замечания о теории возмущений
481
Вариация по А- единственное, что осталось от вариаций по Ф и П.
Вариационные уравнения дают
6Л: ХА-=0,
60: ~ Xv+-^Xh = 0,
и к ним добавляется условие совместности
дк ду q
~дТ~ дХ~~
Это и есть уравнения (14.28) - (14.30) с v = -со.
В случае уравнения Клейна - Гордона лагранжиан
L = 1/2(v2_fc2)0|_F(0)
и преобразование Гамильтона дает
// - - ф" ^ ~ с 7, - г---)-1! i2+'•' № •
Из интеграла Н = А получаем
П = {2 (v2 - №)}m {A - V (Ф)}1/2
и, следовательно,
х=±§паФ-А=
= ^ {2 (v2 - В)}1'2 {А - V (Ф)}1/2с2Ф - А,
что согласуется с (14.26).
Естественно, преобразование Гамильтона можно использовать также и в
линейном или почти линейном случаях. Выражения для X при этом могут
отличаться по форме от полученных ранее, но, конечно, результирующие
вариационные уравнения будут эквивалентными.
14.6. Замечания о теории возмущений
Обычно, применяя теорию возмущений, подставляют подходящее разложение по
степеням в непосредственно в дифференциальные уравнения рассматриваемой
задачи, вводят цепочку уравнений для последовательных порядков, а затем
предпринимают меры по обеспечению равномерности аппроксимации. Именно так
Льюк II] впервые обосновал результаты вариационного подхода. Раз-
Гл. 14. Нелинейная дисперсия
482
ложение (14.39) подставляется в уравнение для <р, приводя к уравнениям,
которые можно схематически записать в виде
Е0{ Ф<0>} = 0,'
Ф<0>} = {Ф(0>} и т.д.
Нулевое уравнение для Ф<0) эквивалентно уравнению (14.49). Оно решается
относительно Ф<0>, находится дисперсионное соотношение, связывающее v, к
