Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
от q, Е и X, а затем обобщенный импульс р = L. также представить
д
в виде
р = р (q, Е, X).
Если в выражение (14.77) подставить L из (14.78), то получим
Т
j pqdt-E=?§p(q, Е, X)dq-E, (14.79)
о
где ^ р dq означает интеграл по полному периоду осцилляции
(замкнутый контур в (р, д)-плоскости). Допустим теперь медленные
изменения параметра X с соответствующими медленными изменениями величин v
и Е и используем усредненный вариационный принцип
и
6 j # (v, Е, X) dt - 0. (14.80)
to
Гл. 14. Нелинейная дисперсия
488
Решающий шаг снова заключается в определении v как производной G фазы G
(?), которая за одну осцилляцию возрастает на постоянную нормированную
величину. Этот шаг, возможно, выглядит менее естественным, чем в случае
волн, но становится ясным при использовании двух масштабов времени.
Вариации выражения (14.80) по Е и G дают
Хе = 0, ~Xv = 0 (14.81)
соответственно. Первое из этих уравнений соответствует дисперсионному
соотношению (14.28), а второе - уравнению сохранения (14.29). В силу
(14.79), имеем
,55 v =р rig = const, (14.82)
т. е. в точности классический результат об адиабатическом инварианте.
Когда система модулируется, переменные v и Е изменяются индивидуально, но
так, что
J(v, E)=±§pdq (14.83)
остается постоянным. Согласно (14.79) и (14.81), период равен
т = Ц- = 1В, (14.84)
что также является классическим результатом. (Превосходный обзор обычной
теории можно найти в книге Ландау и Лифшица [1] стр. 193.)
В двухмасштабной форме (14.59) величина П определяется как дЫдФе, тогда
как обобщенный импульс р равен дЬЮц,. Поскольку в низшем порядке <pt =
тФ0, то П = vp и выражения (14.59) и (14.79) согласуются.
Из этого сравнения ясно, что в случае волн производная Ха родственна
адиабатическому инварианту и что производные Xh^ играют роль
пространственных модуляций. Для волн нет необходимости в
утечке энергии, поскольку модуляции по времени
могут компенсироваться пространственными модуляциями. Однако, если среда
неоднородна, имеется дополнительный эффект за счет параметров,
аналогичных X. Тем не менее уравнение
ТI14-85"
все еще остается в силе. Это уравнение известно под названием уравнения
сохранения волнового действия.
В частном случае волнового пакета, однородного в пространстве, но
изменяющегося за счет изменений параметров среды во време-
14.9. Многофазовые волновые пакеты
489^
ни, имеем
- const.
Аналогичным образом для волнового пакета фиксированной частоты,
движущегося в среде, параметры которой зависят от одной пространственной
переменной х, имеем
Хп = const.
Эти уравнения позволяют простым способом определять амплитуду. В общем
случае модуляции в пространстве и по времени компенсируются, согласно
(14.85), и происходит распространение модуляций.
Величины Ху и X/у в (14.71) подобны производным Ха и X},-. Они появляются
из-за наличия дополнительных зависимых переменных в точности так же, как
для обычных динамических систем (с одной независимой переменной -
временем) с числом степеней свободы большим единицы могут иметь место
дополнительные адиабатические инварианты. Рассматриваемые волновые
системы имеют только одну существенную частоту и, таким образом,
соответствуют вырожденным случаям равных частот в динамике.
14.9. Многофазовые волновые пакеты
Общий случай многопериодических движений в динамике отражается в волновой
теории волновыми пакетами с набором существенно различных фазовых
функций. Обобщить формализм нетрудно, но вопросы существования нуждаются
в разъяснении. Например, для двухфазовых волновых пакетов отправным
пунктом будет квазипериодическое решение
Ф = ? (0lt 02), 0Х = кгх - coiZ, 02 = kzx - со2t, (14.86)
для которого функция Т является 2л-периодической как по 02, так и по 02.
Далее можно было бы строить теорию модуляций так же, как и выше. Однако
даже в обычной динамике вопросы существования квазипериодических решений
в нелинейном случае связаны с хорошо известными трудностями (малые
знаменатели). Если просто постулировать существование решений (14.86) и
близлежащих модулированных решений, то уравнения модуляций можно вывести
так же, как и выше. Абловиц и Бенни (Абловиц и Бенни [1], Абловиц [1])
рассмотрели некоторые следствия. Делани [1] отметил, что вариационный
формализм приводит к правильным уравнениям. Если модулированные волновые
пакеты можно-описать выражениями
Ф = Ф (0ц 02, X, Т; е),
0! = е-1(c)! (X, Т), 02 = в'1(c), (X, Т),
Гл. 14. Нелинейная дисперсия
490
то непосредственные вычисления показывают, что уравнение для Ф в
двухмасштабной форме и два условия периодичности следуют из вариационного
принципа
б j j LdXdT = 0,
2л 2л
Г = ^ ^ г'гФе2 + ефг, /чФв1 -f- ^'гФвг "Ь еФх,
Ф) dBj dQ%.
о о
Отсюда, как и ранее, выводятся уравнения модуляций.
14.10. Эффекты диссипации
Как и гамильтонова динамика, вариационный формализм естественным образом
применим к консервативным системам; дисси-. пативные эффекты описываются
несколько неудобным образом как ненулевые добавки к правым частям
