Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уизем Дж. -> "Линейные и нелинейные волны" -> 161

Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны — М.: Мир, 1977. — 638 c.
Скачать (прямая ссылка): lineynieinelineynievolni1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 155 156 157 158 159 160 < 161 > 162 163 164 165 166 167 .. 215 >> Следующая

Эту теорию можно развить в общем виде, используя вариационный подход §
11.7. В этой главе вариационный подход будет детально изучен и для
завершения предыдущего обсуждения обоснован как формальный метод теории
возмущений. Подробные приложения теории будут даны в гл. 15 и 16.
Другим характерным следствием нелинейности является существование
уединенных волн. Волны с такими профилями в линейной теории диспергируют,
но нелинейность уравновешивает дисперсию и приводит к волнам неизменной
формы. Уединенные волны были обнаружены сначала как предельные случаи
периодических волновых пакетов; недавние исследования их взаимодействия и
образования из произвольных начальных распределений показали, что их
особая структура имеет самостоятельное значение. Мы вернемся к этим
вопросам в гл. 17.
Для волн сравнительно небольшой амплитуды дальнейшие результаты можно
получить методами теории возмущений, которые основаны на разложениях по
малой амплитуде и которые можно назвать "почти линейной теорией". В
частности, можно вернуться к описанию, базирующемуся на фурье-анализе, и
исследовать малые нелинейные взаимодействия между фурье-компонен-тами.
При взаимодействии различных компонент между ними происходит
перераспределение энергии, а вследствие наличия в уравнениях членов типа
произведений из существующих компонент генерируются новые. Эти
взаимодействия можно эффективно
14.1. Нелинейное уравнение Клейна - Гордона
467
проследить только в случае, когда фигурируют лишь несколько компонент.
Мы приведем характерные результаты, но основное внимание уделим методам,
распространяющимся на полностью нелинейный случай. С точки зрения фурье-
анализа нелинейные волновые пакеты и уединенные волны уже имеют довольно
сложные распределения фурье-компонент с уравновешенными взаимодействиями.
Описываемый здесь подход опирается непосредственно на эти специальные
структуры, не пытаясь разложить их на компоненты. Однако в почти линейном
случае можно установить интересные и содержательные связи между этими
двумя точками зрения.
14.1. Нелинейное уравнение Клейна-Гордона
Полезно иметь простой пример для обоснования или иллюстрации этапов
построения общей теории. Для этой цели нелинейный вариант уравнения
Клейна - Гордона особенно удобен и даже более прост, чем уравнение
Кортевега - де Фриза, которое могло бы быть другим очевидным примером.
Итак, рассматривается уравнение
4>и - ф** + V' (ф) = 0, (14.1)
где V' (ф) - некоторая нелинейная функция от ф, для удобства дальнейшего
изложения заданная в виде производной от потенциальной энергии. Уравнение
(14.1) не только полезная модель; оно встречается во многих физических
задачах. Это прежде всего относится к случаю V' (ф) = sin ф, который
Почти всегда упоминается как уравнение Sin-Гордона!
Обзор физических задач, в которых фигурирует это уравнение, дан Бароне с
сотрудниками [1], развившими краткое изложение Скотта 11, стр. 250].
Впервые это уравнение появилось вовсе не в волновых задачах, а при
изучении геометрии поверхностей с гауссовой кривизной К = -1. Фактически
некоторые из развитых там методов преобразований оказались удивительно
ценными при нахождении решения для взаимодействующих уединенных волн, как
будет показано в гл. 17. Сравнительно новые задачи, перечисленные теми''
же авторами, включают следующие.
1. Переход Джозефсона, где sin ф - ток Джозе^сона через участок слабой
сверхпроводимости между двумя сверхпроводниками; напряжение
пропорционально ф(.
2. Дислокации в кристаллах, где появление sin ф связано с периодической
структурой рядов атомов.
3. Распространение в ферромагнитных материалах волн, связанных с
вращением направления намагниченности.
Гл. 14. Нелинейная дисперсия
468
4. Лазерные импульсы в двухфазной среде, где переменные также можно
выразить через вращающийся вектор.
Скотт далее описывает свою конструкцию механической модели с жесткими
маятниками, подвешенными через короткие интервалы вдоль натянутой
проволоки. Крутильные волны, распространяющиеся вдоль проволоки,
удовлетворяют волновому уравнению, а маятники создают восстанавливающую
силу, пропорциональную sin ф, где ф - угловое отклонение. Скотт смог
воспроизвести волны, соответствующие многим решениям уравнения Sin-
Гордона.
Уравнение (14.1) рассматривалось также Шиффом [1] для случая кубической
нелинейности и Перрингом и Скирмом [1] для У'(ф) = зшфв связи с
модельными исследованиями в теории элементарных частиц.
В этой главе анализ проводится для произвольного потенциала V (ф) с
надлежащими свойствами. Выбор
У (ф) = '/г Ф2 + ^Ф4
наиболее прост для запоминания; к тому же это - корректное разложение
почти линейной теории для четных функций V (ф). В случае разложения по
малой амплитуде уравнения Sin-Гордона •о = -1/24.
Проверим сначала существование периодических волновых пакетов. Для того
чтобы их получить, положим, как обычно,
Ф = ? (0), 0 = кх - at. (14.2)
После подстановки имеем
(ю2 - /с2) Фее + V (Ф) = 0, (14.3)
Предыдущая << 1 .. 155 156 157 158 159 160 < 161 > 162 163 164 165 166 167 .. 215 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed