Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Гл. 14. Нелинейная дисперсия
474
Случаи большего числа измерений, большего числа зависимых переменных и
неоднородной среды рассматриваются аналогично. Уравнение Эйлера для
(14.31) имеет вид
где Lj означают производные
Уравнение (14.32) - это уравнение в частных производных второго порядка
для функции ф (х, t), и мы предполагаем, что оно имеет решения вида
периодических волновых пакетов соответствующего типа.
В задачах о медленных модуляциях параметр г вводится при помощи начальных
или граничных условий (как это было в различных случаях, рассмотренных в
11.8); е характеризует отношение типичной длины волны или периода к
типичной длине или интервалу времени для модуляций. Предполагается, что г
мало, но мы не будем ограничивать амплитуду и потребуем только, чтобы она
менялась медленно.
Сначала следует точно описать модулированный волновой пакет. Если х и t
измеряются в единицах типичных длины волны и периода, то медленно
меняющиеся величины будут функциями от гх и ei; параметры модуляций,
такие, как к и ю, будут функциями такого типа. Однако сама функция ф,
кроме того, быстро осциллирует. Чтобы учесть все эти требования, ф
рассматривается как функция от трех переменных: фазы 0, гх и Et. При этом
0записывается в виде е-1(c) (гх, et), что обеспечивает сравнительно быстрые
осцилляции и надлежащую зависимость к = 9Х и ю = -0( от гх и Et. Таким
образом, полагаем
как отрицательную частоту и волновое число. (В этом общем случае мы
предпочитаем v = -со для сохранения симметрии между х и t.) В силу
приведенных выше формул,
(14.32)
Ф = Ф (0, X, Т; г),
0 = е-1(c) (X, Т), X = гх, Т = Et.
(14.34)
(14.35)
Определим
v (X, Т) = -(c) (X, Т) = (c)т, к (X, Т) = (c)х (14.36)
с/ф дФ дф dq> . Г5Ф , дФ "1 _ = гж+е^г,3 _==Лж + е{_,
так что члены, связанные с осцилляциями и медленными модуляциями,
фигурирую!: по отдельности.
14.4. Обоснование вариационного подхода
475
В задачах о колебаниях в обычных механических системах переменная х
отсутствует и метод решения сводится к выделению в явном виде зависимости
для двух масштабов времени. Он известен под названием "метод двух времен"
.("two-timing") - выразительное и удобное название даже при наличии ^-
колебаний с двумя масштабами длины. Эффективность этого метода
основывается на том, что, хотя в начале и в конце имеется правильное
число независимых переменных, на промежуточных этапах выгодно ввести
зависимость от дополнительных переменных. В данном случае, в силу
соотношений (14.35), <р фактически является функцией от х и t, но на
соответствующих этапах анализа Ф рассматривается как функция от трех
независимых переменных 0, X, Т. В обычном методе двух времен такая
дополнительная свобода позволяет избавиться от векового и прочих
нежелательных членов. Здесь применительно к вариационному принципу он
используется иным, но эквивалентным образом.
В геометрической оптике разложение (типа ВКБ), рассмотренное в § 11.8,
эквивалентно выбору
ф (X, t) - gie~1e(ex, et) V snAn (EX, Et). (14.37)
Методу двух времен соответствует разложение
Ф (0, X, Т\ е) ~ е"2Г(Х7 Т) (14 38)
с тем же окончательным результатом. В любом случае экспоненциальная
зависимость от 0 ограничена линейными задачами. Для нелинейных задач
аналогом было бы разложение
Ф (0, X, Т; е) ~ У\ в"(r)"4 (0, Х,[Т) (14.39)
и последовательное нахождение функций Ф(Т1). Однако в эквивалентном
вариационном подходе мы не используем таких исходных разложений, а
работаем непосредственно с выражениями (14.34) -
(14.36) и избегаем большей части утомительных выкладок традиционной
теории возмущений.
Подставив (14.34) и (14.35) в основное уравнение Эйлера (14.32), получим
где производные Lj зависят от аргументов следующим образом: 1 (\'Ф()
- |- еФ/ , кФв + еФх, Ф). (14.41)
При выводе уравнения (14.40) было использовано соотношение 0 = е-1(c) (X,
Т), но теперь оно опускается. Это решающий шаг рассматриваемого метода.
Уравнение (14.40) теперь рассматривается как уравнение для функции Ф (0,
X, Т) трех независимых переменных 0, X, Т. Уравнение содержит также
функцию (c) (X, Т)
Гл. 14. Нелинейная дисперсия
476
через ее производные v == (c)т, к = (c)Л-; исходные соотношения между (c), v, к
и аргументом 0 в Ф также опускаются. Ясно, что если удается найти решения
для Ф (0, X, Т) и (c) (X, Т), то Ф (в-1(c), X, Т) будет решением исходной
задачи. Дополнительная свобода выбора (c) (X, Т) используется для того,
чтобы обеспечить надлежащее поведение функции Ф (0, X, Т).
Выбор функции 0 (X, Т) производится различными способами в зависимости от
конкретного варианта метода, но все они эквивалентны. Здесь мы должны с
самого начала наложить требование периодичности Ф и ее производных по 0.
(В других вариантах оставляют 0 (X, Т) сначала произвольной, находят в
общем выражении для Ф нежелательные вековые члены, пропорциональные 0, и
затем исключают их соответствующим выбором функции (c).) Период можно
нормировать на 2я, так что мы наложим условие, что Ф и ее производные
