Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
должны быть 2я-периодичны по 0.
Для того чтобы обеспечить выполнение этого условия, заметим, что
уравнение (14.40) можно записать в виде закона сохранения
± {(vL, + kLt) Фв - Ь}-\-г - (ФеВО + в ± (ФеГ2) = 0. (14.42)
Тогда при интегрировании по 0 от 0 до 2л вклад первого члена обращается в
нуль, в силу условия периодичности, и мы имеем
2л 2л
Я к i фА"+ЖЖ ( ФЛЛ-0. (14.43)
I [0 о
Уравнения (14.40) и (14.43) образуют систему из двух уравнений для Ф (0,
X, Т) и (c) (X, Т).
Достопримечательно и достойно удивления, что эти уравнения для Ф и (c) в
точности совпадают с уравнениями Эйлера для вариационного принципа 2л
(гФе + еФг, ЛФе + еФх, Ф) d0 dX dT = 0. (14.44)
о
Вариации 6Ф приводят к уравнению
19 ^Фв+ ^ L<sT-}--Q2r Ьфх - Ьф= 0,
которое в частном случае лагранжиана L из (14.44) совпадает с уравнением
(14.40). Вариации б(c) дают
44.4. Обоснование вариационного подхода
477
где
L= Л. j L(v<P0 + e<PT, АФе + вФ*, Ф)<$; (14.46)
о
это совпадает с (14.43). Но самое удивительное - это то, что (14.44)
является точной формой усредненного вариационного принципа! Мы не только
обосновали вариационный подход, но получили мощный и компактный базис для
всей теории возмущений. Несколько странно, что до сих пор мы не
использовали явно предположение о малости параметра е. Неявно, однако,
это предположение содержится в выборе функциональной формы функции Фив
требовании периодичности Ф по 0.
В низшем порядке приближения вариационный принцип (14.44') дает
это, конечно, приближения низшего порядка для уравнений (14.40) и
(14.45). Поскольку в уравнении (14.49) отсутствуют производные функции
Ф(0) по X, Т, это фактически обыкновенное дифференциальное уравнение для
Ф(0) как функции от 0. Оно имеет очевидный первый интеграл
(соответствующий приближению низшего порядка для (14.42)):
Уравнения (14.49) и (14.51) - это обыкновенные дифференциальные
уравнения, описывающие однородный периодический волновой пакет, но с той
разницей, что параметры v, к и А теперь являются функциями от X и Т.
Зависимость от 0 в точности та же, что и для периодического волнового
пакета; зависимость параметров v, к и А от X ж Т обеспечивает модуляцию.
Явное отделение переменной 0 от X и Т автоматически позволяет
интегрировать по 0 при фиксированных v, к и А; теперь ясно, что
интегрирования в (14.25) и (14.26) проводятся именно в таком смысле.
Объединив решения уравнения (14.51) с выражениями (14.47) - (14.48),
получим в точности вариационный подход, предложенный
L(0) = -^ j L {уф(0°\ кФ(в0), Ф(0)} d0. (14.48)
о
Вариационные уравнения имеют вид
6Ф(0): {vL(!0) + kL(20>} - LT = 0, (14.49)
60: ^-1<в) + ^.Дв) = 0; (14.50)
{vb[0) + L(20)} Ф<о0) - L<0" = А {X, Т).
(14.51)
Гл. 14. Нелинейная дисперсия
478
ранее. Теперь он обоснован как первое приближение формальной теории
возмущений.
При фактическом использовании данного метода возникает важный вопрос,
который следует рассмотреть в общем виде. Уравнение (14.51) в его
настоящем виде можно использовать для нахождения как функции Ф(0), так и
дисперсионного соотношения между v, к, А (ср. (14.5) и (14.7) для
уравнения Клейна - Гордона). Выкладки в (14.26) показывают, что при таком
использовании равенства (14.51) в (14.48) можно избежать нахождения
функции ф1°) (которая с точностью до обозначений совпадает с Т) в явном
виде и дисперсионное соотношение можно рассматривать как дополнительное
вариационное уравнение, которое выводится из (14.47). Это намного
предпочтительнее, поскольку тогда форма усредненного лагранжиана
упрощается и, что более существенно, все уравнения, связывающие медленно
изменяющиеся параметры v, к, А, объединены общим вариационным принципом.
Как описать эту процедуру в общем виде? Это именно тот вопрос, о котором
шла речь выше. Задача заключается в том, чтобы из уравнения (14.51)
извлечь достаточную информацию о функциональной форме функции Ф<0), не
используя при этом полную информацию о дисперсионном соотношении. Сейчас
мы покажем, как это можно сделать.
JL4.D. Оптимальное использование вариационного принципа
В линейном случае при отделении функциональной формы функции Ф(0> от
дисперсионного соотношения трудностей не возникает. Мы заранее знаем, что
решение уравнения (14.49) или (14.51) примет вид
Ф(0) = a cos (0 + т]),
где а (X, Т) - амплитуда, связанная с А (X, Т) и используемая вместо нее.
Фазовый параметр т] (X, Т) при построении усредненного лагранжиана
(14.48) выпадает и не играет роли в этом приближении низшего порядка. Эта
довольно тривиальная информация о Ф(0> является единственной информацией,
извлеченной из
(14.51), и не включает дисперсионного соотношения. Когда эта функция Ф(0)
подставлена в (14.48), для усредненного лагранжиана получается выражение
2л
X(v,k,a) = ~ ? L(-vasinO, -fcasinB, acos0)<#M
14.5. Использование вариационного принципа
479
В полти линейном случае трудностей также не возникает. Можно использовать
разложение Стокса
ф<0> = a cos (0 -J- ц) + а2 cos (20 -f ц2) -}- а3 cos (30 + ц3) + ... ,
