Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
и А, но их зависимость от X и Т на этом уровне не определена. Уравнение
для Ф(1) содержит только производные по 0 от Ф(1) и фактически является
обыкновенным дифференциальным уравнением. Его решение включает
неограниченные члены, пропорциональные 0, если на F1 {Ф(0)} тте наложены
определенные условия. Эти "вековые" члены должны быть устранены для
обеспечения равномерности аппроксимации при больших 0.
Соответствующее условие, наложенное на Р\ {Ф(0>}, приводит к
дополнительному уравнению для v, /с, А, которое полностью-определяет
решение низшего порядка. В следующих уравнениях для Ф(П) появляются новые
параметры и должны быть наложены новые "вековые" условия.
Априорное условие периодичности Ф эквивалентно устранению вековых членов.
Поэтому последовательные приближения условия периодичности (14.43) будут
проявляться как вековые условия в более традиционной схеме. Мы видим,
что, даже следуя традиционной схеме, выгодно исходить из уравнений
(14.42) и (14.43). Но, поскольку уравнения (14.42) п (14.43) эквивалентны
вариационному принципу (14.44), еще лучше подставить разложение
непосредственно в (14.44) и использовать вариационный принцип для
получения как уравнений для ф(И), так и для вековых условий. Таким
образом, вариационный подход не следует рассматривать как независимый
метод. Он включает обычную теорию возмущений, выделяя основные моменты и
позволяя формулировать результаты в более общем виде.
Вариационный подход имеет и другие преимущества. Вариационный принцип
(14.44) установлен независимо от какой-либо конкретной формы зависимости
от е. Более того, функция 0 также может зависеть от в; мы считали, что
она не зависит от е, только ради простоты исходного изложения. Можно
использовать разложения по степеням в для Ф, или для 0, или для обеих
этих функций, но мы вправе выбрать и разложения другого вида. Например, в
почти линейном случае можно использовать разложения постепенны амплитуды,
или, что то же самое, ряд Фурье для Ф. Это-и будет сделано при
рассмотрении приближений высшего порядка в § 15.5.
14.7. Обобщения на большее число переменных
483
14.7. Обобщения на большее число переменных
Обобщение на большее число пространственных измерений очевидно. Для
плоской периодической волны решение имеет вид ф = = Y (0), где 0 = б (х,
t) зависит от вектора х, и распространение происходит в направлении
волнового вектора к = 0Х. Усредненный лагранжиан переходит в X (со, к,
А), и становятся возможными модуляции в пространстве (т. е. медленно
изгибающиеся фазовые поверхности). Уравнения модуляций имеют вид (11.80)
- (11.82). В обосновании, проведенном в предыдущем параграфе, потребуются
только очевидные изменения, состоящие в замене х, X, к на Xi, Хг, kt и -
в случае необходимости - соответствующих суммированиях.
Случай одного уравнения высшего порядка рассматривается аналогично, лишь
с незначительными обобщениями. В вариационном принципе (14.31) и на всех
последующих этапах появятся производные высших порядков, но необходимые
обобщения очевидны.
Случай большего числа зависимых переменных требует подробного
рассмотрения. Прежде всего для линейной системы относительно неизвестных
функций ф("> (х, t) периодические волновые пакеты можно описывать
выражениями
ф(") = аа cos 0 -J- ba sin 0.
Полученный при их помощи усредненный лагранжиан является функцией от двух
наборов аа, Ъа, а также от со и к. Соответствующий вариационный принцип
б ^ ^ X (0<, 0Xi, аа, ba) dxdt-0 (14.60)
приводит к вариационным уравнениям
?аа = 0, ?6а = 0,
Arx4=°- <Н-М>
<№,- . до) q dki dkj ~
dt dxi ' dxj dxi
Система уравнений Х"а - %ъа = 0 линейна и однородна (поскольку X
квадратичен по аа и Ьа), и в общем случае ее можно решить, выразив аа и
Ъа через единую амплитуду а. Эти выражения можно снова подставить в
лагранжиан и представить X в виде функции Хг (со, к, а), так что
уравнения модуляций будут такими же, как и в случае одной переменной.
Данная подстановка допустима, поскольку ограничения, наложенные на выбор
величин аа и Ьа, удовлетворяют условиям стационарности. Эту эквива-
Гл. 14. Нелинейная дисперсия
484
лентность можно проверить и непосредственно, так как
и аналогично Xihj = Хщ. В результате подстановок в зависимости от
конкретного выбора соотношений могут получиться различные выражения для
Х%, но окончательные уравнения будут одни и те же. Это доказывается
использованием двух масштабов времени так же, как п выше.
В нелинейном случае обычно имеется система уравнений с соответствующим
лагранжианом L {ф<а\ ф<"\ ф(а>}, содержащим только функции ф<а) и их
первые производные. Однако характерно, что для некоторых функций ф в
лагранжиане L фигурируют только производные; такие функции являются
"потенциалами" в том смысле, что лишь производные фг, фх являются
физическими величинами. Это требует далеко нетривиального обобщения с
важными математическими и физическими следствиями. Для решения в виде
однородного волнового пакета любую потенциальную переменную ф следует
