Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уизем Дж. -> "Линейные и нелинейные волны" -> 163

Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны — М.: Мир, 1977. — 638 c.
Скачать (прямая ссылка): lineynieinelineynievolni1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 157 158 159 160 161 162 < 163 > 164 165 166 167 168 169 .. 215 >> Следующая

Второе следствие нелинейности в гиперболическом случае состоит в том, что
модуляции типа "сжатия" будут искажаться и становиться круче характерным
гиперболическим образом, изученным в части I. Здесь возникает вопрос о
многозначных решениях и опрокидывании.
Когда со 2со" < 0, характеристики мнимы и система эллиптическая. В
контексте волнового распространения это приводит к некорректно
поставленным задачам. Кроме всего прочего, это означает, что малые
возмущения будут со временем расти и в этом смысле периодический волновой
пакет неустойчив. Эллиптический случай не является чем-либо необычным, и
теория модуляций дает интересный подход к некоторым аспектам теории
устойчивости.
Можно отметить, что для волн Стокса на глубокой воде дисперсионное
соотношение (13.124) дает
"о (Щ = g1,2km, to2 (к) = Vrf1/2*s/2, (14.22)
так что мы имеем неустойчивый случай с < 0. Удивительно, что эта
неустойчивость не была обнаружена в процессе длительной дискуссии о
существовании периодических решений. В случае уравнения Клейна - Гордона
разложение (14.12) дает
свь(Л) = (й" + 1)1/а, щ(к) = 3/2п (&2 + 1)-1/2. (14.23)
Знак выражения ш^и2 совпадает со знаком коэффициента п; уравнения
модуляций являются гиперболическими при о > 0 и эллиптическими при о < 0.
Для почти линейных волн уравнение Sin-Гордона имеет о < 0, так что во
всех задачах, описываемых этим уравнением, почти линейные волновые пакеты
неустойчивы.
Гл. 14. Нелинейная дисперсия
472
Мы вернемся ко всем этим вопросам после того, как уравнения модуляций
будут подробно изучены и обобщены на полностью нелинейный случай.
Ш.6. Вариационный подход к теории модуляции
Полные уравнения модуляций получаются в особенно простом и выразительном
виде, если использовать вариационный подход, описание которого было
начато в гл. 11. Сначала рассмотрим применение этого подхода к нелинейным
задачам на типичном примере уравнения Клейна - Гордона. После этого
станет ясным, как действовать в общем случае, и мы сможем обосновать наш
метод.
В случае уравнения Клейна - Г ордона периодический волновой пакет
описывается формулами (14.4) - (14.5) и содержит параметры ш, к и А.
Нужно найти уравнения, которым удовлетворяют эти параметры для медленно
меняющихся волновых пакетов. Уравнение (14.1) является уравнением Эйлера
для вариационного принципа
6 {уФ?-уФ*-К(Ф)} ?&?& = (); (14.24)
это легко проверить с помощью (11.74). Элементарное решение,
соответствующее решению ф = a cos (0 + ц), используемому в линейных
задачах, имеет вид ф = (0). (К (14.5) можно добавить
сдвиг фазы г), но в уравнениях модуляций он сокращается.) Теперь нужно
вычислить лагранжиан и его среднее значение для ф = = Т' (0), считая при
зтом со, к и А постоянными. Имеем
L = 1/2((r)2-*2)1fe-F(Y),
и среднее значение по одному периоду по 0 равно 2л
{уК-^е-Г^)}^0. (14.25)
о
В принципе функция 1Р полностью известна из выражения (14.5). Однако
лучше не пользоваться интегральным выражением, а обратиться
непосредственно к уравнению (14.4) и выразить L через ю, к и А. Выделим
последовательные шаги:

L = ± j (to2-fc2)YId0 -Л = о

= ±- (е)2_ fc2) j \Fe -А = о
= -L (2 ("2 _ ?2)} 1 /2 ф _ у (ЧГ)}1/2 dW _ (14.26)
14.4. Обоснование вариационного подхода
473
Последний интеграл по замкнутому контуру представляет собой вполне
определенную функцию от Л, в которую входит лишь как переменная
интегрирования. Обозначение X (со, к, А) мы сохраняем для этой
окончательной формы усредненного лагранжиана L.
Когда а, к, А являются медленно меняющимися функциями от х и t, мы, как и
ранее, постулируем усредненный вариационный принцип
6 j j X (со, к, A) dx dt = 0. (14.27)
В качестве независимых функций следует рассматривать 0 (х, t)
и А (х,, t), причем ю = -0(, к = 0Ж. Вариационные
уравнения
имеют вид
8Л: ХА*= 0. (14.28)
60: 1-2* = 0. (14.29)
После того как вариации найдены, мы опять возвращаемся к переменным ю, к
и А и добавляем уравнение совместности
?+-жг=°. <14-3°)
получаемое исключением фазы0. Уравнения и их вывод из (14.27), конечно,
такие же, как и в линейном случае с незначительным изменением, связанным
с переходом от амплитудной переменной я к Л. Единственный новый элемент в
нелинейной теории - вычисление усредненного лагранжиана X (н>, к, Л).
Уравнение (14.28) приводит к функциональной зависимости между ю, к и Л,
которая не может быть ничем иным, кроме дисперсионного соотношения. Для
уравнения Клейна - Гордона с X, заданным формулой (14.26), мы убеждаемся,
что оно действительно приводит к правильному результату (14.7). Система
(14.28) - (14.30) является точной нелинейной формой уравнений модуляций
(14.18) - (14.19). Прежде чем обсудить свойства этих уравнений и их
различные обобщения, обратимся теперь к обоснованию вариационного
подхода.
14.4. Обоснование вариационного подхода
Для наших целей достаточно подробно рассмотреть случай одномерных волн,
описываемых вариационным принципом
8 | J L(q>t, фас" <f>)dxdt = 0. (14.31)
Предыдущая << 1 .. 157 158 159 160 161 162 < 163 > 164 165 166 167 168 169 .. 215 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed