Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уизем Дж. -> "Линейные и нелинейные волны" -> 170

Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны — М.: Мир, 1977. — 638 c.
Скачать (прямая ссылка): lineynieinelineynievolni1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 164 165 166 167 168 169 < 170 > 171 172 173 174 175 176 .. 215 >> Следующая

предыдущих уравнений. Однако можно сохранить различные канонические формы
и левые части по-прежнему можно записывать через лагранжиан. Для того
чтобы продемонстрировать это, рассмотрим как частный пример уравнение
Ф" - 4>хх+ V (ф) = -еD (ф, ф(),
где член еD (ф, фг) описывает малые диссипативные эффекты Уравнение в
двухмасштабной форме, соответствующее (14.42), имеет следующий вид:
A {I(V2_щф| + Г(Ф)-1 е2Фу +1 е2Ф1 } +
-j- е - (v0| еФеФГ} - е {&Фе 4 _ еФеФ^} ~
= - еФ0О (Ф, уфе-)-еФГ).
В низшем порядке имеем
у(-е2-А:2)Ф^ + К(Ф) = Л(У, Т), (14.87)
а условие периодичности дает
2л 2Л 2л
-^Г j уф| de - ~ j к(r)% dQ = - j ФеО (Ф, vФe) tffi. (14.88)
О 0 0
Из уравнения (14.87) можно найти производную Фе как функцию "от Ф, V, к,
А, и все интегралы в уравнении (14.88) можно записать
14.10. Эффекты диссипации
491
как интегралы по замкнутому контуру. Имеем
-^Xv + -?rXh=-3),
(14.89)
где, как и ранее,
X (v, к, А) - --^ (2 (v2 - /с2)}"/2 ф {А - V (Ф)}'/2 йФ-А
3)[у, к, A) = -^§D (Ф, Фе) dO.
К уравнению (14.89) добавляются уравнения
(14.90)
и получается полная система уравнений для х, к, А. Уравнение (14.89)
указывает на потерю волнового действия за счет диссипации.
Здесь в уравнениях мы вернулись к методу двух времен, но сохранили
канонические формы законов сохранения, следующие из лагранжева
формализма. Это, очевидно, менее желательно, чем непосредственное
применение данного метода к какому-либо расширенному вариационному
принципу. Недавно Хименес [1] достиг некоторого успеха в выводе
результатов типа уравнения (14.89) в рамках подхода Пригожина к
необратимым системам (Доннелли и др. II]).
Глава 15
ГРУППОВЫЕ СКОРОСТИ, НЕУСТОЙЧИВОСТЬ И УТОЧНЕНИЕ ЭФФЕКТОВ ДИСПЕРСИИ
Большая часть предыдущей главы была посвящена выводу основных уравнений
теории. Изучим теперь уравнения модуляций и их решения более подробно и
подчеркнем существенное различие между линейной и нелинейной теориями. В
этой главе мы рассмотрим основной случай одномерных волн в однородной
среде и для простоты предположим, что псевдочастоты и псевдоволновые
числа не возникают. В качестве типичных примеров будем здесь использовать
нелинейное уравнение Клейна - Гордона и задачи, приведенные в § 14.1.
Более специальные приложения к нелинейной оптике и волнам на воде
составят содержание следующей' главы. Обобщения на большее число
измерений, неоднородную среду и системы высших порядков будут кратко
изложены в виде дополнительных замечаний.
Модулированные волновые пакеты во всех порядках приближения описываются
вариационным принципом (14.44). В низшем порядке приближения имеем
(14.47) - (14.48) и при помощи преобразования Гамильтона получаем
усредненный вариационный принцип
где со = -0( и Qx - к. (Мы опускаем обозначения, принятые в конце
предыдущей главы, и возвращаемся к исходным, за исключением случаев,
когда точное упорядочение членов снова становится существенным.) В этом
низшем приближении вариационные уравнения для А, (о и к имеют вид
(15.1)
(15.2)
дк . дю dt дх
(15.3)
Изучим сначала эти уравнения, а затем вернемся к вариационному принципу
(14.44) для учета эффектов дисперсии в приближениях более высокого
порядка.
15.1. Почти линейный случай
493
15.1. Почти линейный случай
Прежде чем перейти к основной теме, покажем, как почти линейные
уравнения, полученные в § 14.2, согласуются с общим формализмом. Почти
линейная теория получается разложением X по степеням амплитуды. Это
разложение можно записать в виде
X = Р (и, к) А + Р2 (и, к) Аа + . . ., (15.4)
но обычно оно вводится при помощи разложения в ряд Фурье {ср. (14.52)) в
эквивалентной форме
X = G (to, к) а2 + G2 (со, к) сА + . . . .
Дисперсионное соотношение Ха = 0 дает
to = (Оо (к) + (к) а* + . . .,
где
G(to0, &) = 0, (c)2=------
v v ' Ga (to0, к)
Уравнения (15.2) и (15.3) можно записать в виде
-jfiS (к) a2+---} + -^{g(*K(*)a2+...} = 0,
5 i (*)+"2 (*) а2+ • • •)=о,
где g (к) = G0] (toо, к) и использовано соотношение
го' (Ь\ __ (юо. к)
0 ( > Ga ("о, к)
для линейной групповой скорости. Коэффициент g (к) можно исключить, в
силу второго уравнения для к, и корректным приближением, как было
объяснено в § 14.2, является
1? + ^К(*)"2}=о, #+"<(*)#+М*)-|г=о.
Характеристические уравнения, как легко проверить, имеют вид
Т ^ К) { У* М ± da = О,
, (15.5)
-J- = (о; (к) ± {to2 (к) to" (к)>К2 а.
Используя разложение (15.4), мы получили бы эквивалентные результаты с
заменой амплитуды а на АгР и заменой G, G2 в определении to 2 на Р, Р2.
Рассмотрим теперь точные уравнения (15.1) - (15.3).
Гл. 15. Уточнение эффектов дисперсии
494
15.2. Характеристическая форма уравнений
Существуют две полезные формы характеристических уравнений в зависимости
от того, сохраняется симметрия между переменными tux или нет. Если
стремиться к симметрии, то удобнее работать с фазой G, а не с со и к.
Тогда уравнение (15.2) переходит в следующее:
Xaufiit - -J- Xktfixx - -5? со + ^hA^-x - О*
Производные At, Ах можно исключить в пользу G при помощи уравнения
Предыдущая << 1 .. 164 165 166 167 168 169 < 170 > 171 172 173 174 175 176 .. 215 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed