Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
представить в виде
для того, чтобы обеспечить полную общность. Физические величины содержат
только
где -у и Р являются средними значениями. Это важные физические величины;
например, в случае жидкости они дают среднюю скорость жидкости и среднюю
высоту. Более того, наиболее важный нелинейный эффект состоит во
взаимодействии модуляций волнового пакета с аналогичными медленными
изменениями этих средних величин. Таким образом, в теории модуляций
обобщением члена Р -х - yt следует считать функцию 0 (х, ?), а у, Р
определить равенствами
Функция 0 аналогична функции 0 и играет в задаче роль псевдофазы.
Величины у и р являются псевдочастотой и псевдоволновым вектором. Далее,
для каждого потенциала ф в соответствующем уравнении Эйлера
Ф = Р -х - у?-|-Ф(0), 0 = к-х-сot (14.62)
ф4 = - у-соФ0, фх = Р + кФ0,
(14.63)
У= -
01, Р=Д
(14.64)
(14.65)
14.7. Обобщения на большее число переменных
485
отсутствует член L~, и в процессе анализа это всегда приводит к
дополнительному интегралу и к дополнительному параметру В, аналогичному
А. Тройки (у, Р, В), хотя и вспомогательные, подобны основной тройке (со,
к, А).
Аналог формулы (14.34) для функции (14.62) имеет вид
Ф (х, t) = tr1(c) (X, Т) + Ф (6, X, Т; е),
где
у(Х, Г)=-(c)г, Р(Х, Г)^(c)х, Х = ех, Г = е" и Ф выбирается периодической по
6. Для лагранжиана ?(фь Фх, ф, фц Фх) можно показать, что уравнения с
двумя масштабами времени и условия 2л-периодичносши по 6 функций Ф и Ф
эквивалентны точному вариационному принципу, аналогичному (14.44). В
низшем порядке он имеет вид
L{ - соФе, кФе, Ф, -у - юФе, $-\-кФе) dO dXdT- 0.
(14.66)
Вариационные уравнения, соответствующие вариациям 6Ф и 6Ф, определяют
функции Ф и Ф, и мы имеем два интеграла
( - coLj + k-La - (оА4+к-А5)Фе- L = A{X, Т), (14.67)
- соLL + k-L5 = B(X, Т). (14.68)
Вариации б(c) и б(c) приводят к двум вековым условиям
д у д у _ j j д ~f д у / j
dt " дХ Lk~и' дТ у дХ р
Наконец, можно, как и ранее, ввести преобразование Гамильтона, основанное
на обобщенных импульсах дЫдФе, дЫдФе, и, используя равенства (14.67) -
(14.68), исключить явную зависимость
вариационного принципа от Ф и Ф в пользу параметров А ж В.
Тогда получим
б J J X (со, к, А, у, р, В) dX dT = 0. (14.69)
Соответствующие вариационные уравнения
= 0, %в = 0, (14.70)
?*•-17^-°' 7Х'>-° (14Л,)
Гл. 14. Нелинейная дисперсия
486
дополняются условиями совместности
ж--м-=й' (14-72>
щ-ж=0' щ-Ш=0- (14-?3)
Дальнейшие детали и примеры приведены в статьях автора (Уизем
[10, 11, 13]). Приложение к волнам на воде конечной глубины, где
дополнительные параметры являются определяющими, будет дано в гл. 16.
В рассматриваемом более общем случае закон сохранения энергии,
соответствующий, в силу теоремы Нётер, инвариантности лагранжиана в
вариационном принципе (14.69) относительно сдвигов по Т, имеет вид
Г (<02* + У Ху - X) + -Щ (- а>Хк} - уХр.) = 0. (14.74)
Закон сохранения импульса, соответствующий инвариантности относительно
сдвигов по Zj, записывается в виде
4г {hXa + Р,2V) + _!_ (- ktXh. - рг2р. + 26") = 0. (14.75)
Чтобы получить дальнейшие обобщения, заметим, что если параметры среды не
постоянны, а зависят от X и Г, то X и Г в явном виде войдут в лагранжиан
и, следовательно, в X• Вариационные уравнения (14.70) - (14.73) при этом
останутся без изменения. Однако в правых частях законов сохранения
(14.74) - (14.75) появятся члены - Хт и XXi соответственно. (Это можно
проверить непосредственно при помощи (14.70) - (14.73).)
14.8. Адиабатические инварианты
Выше было указано, что величины Ха, Хк- аналогичны адиабатическим
инвариантам классической механики. Теперь можно исследовать это
соответствие. Механическим аналогом служит теория медленных модуляций в
колебательных системах. Единственной независимой переменной является
время, так что в этом случае модуляции можно производить только
налагаемыми извне изменениями какого-либо параметра К (t). (В случае волн
это соответствует вариации параметров среды.) Классическая теория обычно
строится в гамильтоновом формализме, непосредственно к волнам
неприменимом, но вместо этого мы можем вывести простейшие классические
результаты развитыми выше методами. Для осциллятора с одной степенью
свободы q (t) и одним медленно меняющим-
14.8. Адиабатические инварианты
487
ся параметром % (t) вариационный принцип записывается как <2
б J L(q, q, %)dt= О
<i
в вариационное уравнение имеет вид
(14-76)
Этот случай охватывается методами § 14.3 и 14.4 после отбрасывания
зависимости от х. Но полезно наметить независимый вывод,
используя обычные обозначения механики. Мы будем следовать
простому интуитивному подходу § 14.3, который обосновывается в § 14.4.
Вычислим сначала усредненный лагранжиан для периодического движения при
фиксированном значении параметра X. Если период равен т = 2лlv, то
Т
x=h\Ldt- (14-77)
о
Для периодического движения (X = const) уравнение (14.76) имеет интеграл
энергии
ф. - L = Е. (14.78)
д
Разрешив это уравнение, можно в принципе найти q как функцию
