Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
что после интегрирования дает
'/2 (со2 - fc2) Д- К (V) = Л. (14.4)
Мы обозначаем постоянную интегрирования буквой А, хотя раньше эта буква
использовалась для обозначения комплексной амплитуды в линейных задачах.
Теперь в аналогичном контексте будет фигурировать только вещественная
амплитуда а, так что недоразумений не возникнет. Здесь А - по-прежнему
амплитудный параметр; в линейном случае V (Ф) = V2 Г2 он связан с
фактической амплитудой а соотношением А = 1/2 а2.
Решение уравнения (14.4) можно записать в виде
e-m-*-**))1" j ; (и.5)
в частности, если V (Ф) - полином третьего либо четвертого порядка или
тригонометрическая функция, Ф (0) можно выразить через эллиптические
функции. Периодические решения получаются тргда, когда Ф осциллирует
между двумя простыми нулями выражения А - V (Ф). В этих нулях производная
Фе = 0 и график
14.1. Нелинейное уравнение Клейна - Гордона
469
решения имеет максимум или минимум; эти точки достигаются при конечных
значениях 0, поскольку интеграл (14.5) сходится, когда нули простые.
Обозначив эти нули через Ч\ и Ч^, мы пока ограничимся случаем
Ч', < Ч' <С 4%, A - F(?)>0, ю2 - /с2 > 0. (14.6)
Период по 0 можно нормировать на 2л (что удобно в линейном пределе), и
тогда имеем
где (|) означает интеграл но полной осцилляции переменной Ч?
от до 4*2 и обратно. Знак квадратного корня необходимо соответствующим
образом изменять для обеих частей цикла. Интеграл можно также
интерпретировать как интеграл по замкнутому контуру вокруг разреза от ЧГ1
до 4% в комплексной Ч'-плоскости.
В линейном случае V (Чг) = 1/2 ЧГ2 периодическое решение имеет вид
4^acos0, (14.8)
амплитуда а выпадает из равенства (14.7), которое переходит просто в
линейное дисперсионное соотношение
ю2 - к2 = 1. (14.9)
В нелинейном случае амплитудный параметр А не выпадает из равенства
(14.7) и мы получаем характерную зависимость дисперсионного соотношения
от амплитуды.
Если амплитуда мала и потенциал V представлен рядом
У - 4/гф2 + СТФ4 + • • •" (14.10)
то имеем
4f = a cos 0 + Vg оа3 cos 30 + ... , (14.11)
ю2- /с2=1 + 3стя2, (14.12)
Л = V2 а2 + (r)/8 ста4 + ... . (14.13)
Это разложения Стокса, которые можно получить либо прямой подстановкой в
уравнения (14.3) - (14.4), либо разложением точных выражений (14.5) и
(14.7), полученных выше. Следует заметить, что а - амплитуда первого
члена в (14.11); она несколько отличается от точной амплитуды
а + 1/8°га8+ • •• •
Гл. 14. Нелинейная дисперсия
470
14.Z. Начальные сведения о модуляции
В гл. 11 мы убедились в том, что в простейшем случае одномерных волн в
однородной среде модуляции линейного волнового пакета можно описать
уравнениями
?+?=о, <*"4>
-?+•?"*¦4-0, (14.15)
где (о = со о (к) задается линейным дисперсионным соотношением, а С0 =
к>' (к) - линейная групповая скорость. (Индекс нуль добавлен теперь для
того, чтобы отмечать линейные значения.) Решающее качественное влияние
нелинейности состоит в зависимости ю от а, что связывает уравнение
(14.14) с уравнением (14.15). Для сравнительно небольших амплитуд можно,
следуя Стоксу, представить со в виде ряда
со = со0 (&) + со2 {к) а2 + . . ., (14.16)
и тогда уравнение (14.14) примет вид
-fj- + К (к) + "? (к) я2) ? + "2 W1ЕГ = °* (14-17)
Наиболее существенным членом является со2 {к) да2/дх, поскольку он
содержит производную от а и приводит к поправке О (а) к
характеристическим скоростям. Другой новый член всего лишь подправляет
коэффициент существовавшего ранее члена с дк/дх и, следовательно, дает
вклад только на уровне О (а2). Аналогичным образом для малых амплитуд
нелинейные добавки в (14.15) имеют порядок я4 и приводят к поправкам
порядка а2 к коэффициентам существовавших ранее членов с да2/дх и дк/дх.
Следовательно, в первом приближении нелинейные эффекты можно учесть очень
просто, используя только новое дисперсионное соотношение и уравнения
?+^*>?+м*>?Ь0* <14-18>
¦? + *(*>-? + *(*>* ? = 0. (14.19)
Согласно стандартной процедуре, описанной в гл. 5, характеристическая
форма этой системы сводится к уравнениям
<14-20>
14.2. Начальные сведения о модуляции
471
вдоль характеристик
%=со; (к) ± ь (к) со; щи\. (14.21)
Можно проверить, что дополнительные члены порядка а2, добавленные в
(14.18) - (14.19), приводят в (14.20) - (14.21) только к членам порядка
а2.
Эта простая формулировка уже приводит к некоторым замечательным
результатам. В случае ro2fo" > 0 характеристики вещественны и система
гиперболическая. Нелинейные поправки расщепляют двойную
характеристическую скорость, и мы имеем две скорости, определяемые
формулой (14.21). В общем случае исходное возмущение или модулирующий
источник внесут возмущения в оба семейства характеристик. Если исходное
возмущение сосредоточено в конечной области, например имеет вид горба на
однородном в остальном пакете, то оно со временем распадется на два. Это
совершенно не похоже на линейное поведение, где такой горб может
искажаться вследствие зависимости С0 (к) от к, но не распадается.
