Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
порядка характерной длины волны, и можно применить
Рис. 12.8. Геометрия волн на радиально растягивающемся слое.
1 - источник течения, 2 - источник волн, 3 - характеристика.
и проиллюстрировать идеи § 11.5 и 11.7. связанные с неоднородностью
среды. В полярных координатах (R, со) с центром в источнике течения, а.
не в источнике волн (см. рис. 12.8),
к=К'1Ге")' и=(^°)-
Для радиального течения дисперсионное соотношение (12.37), преобразуется
к виду
тт , ( Th(R) чкг/ог , 1 да \ п
12.5. Капиллярные волны на тонком слое воды
401
Используя выражение (12.41), дисперсионное соотношение можно записать
так:
6=4(0^ + ^е~) + (ш1/2ек=о, р= (^)1/2. (12.42)
Это уравнение можно решить методом характеристик, но вычисления гораздо
сложнее, чем для соотношений (12.27) - (12 29), поскольку теперь вектор к
не постоянен на характеристиках и характеристики не прямолинейны. Однако
характеристическую форму можно найти при помощи общих формул, приведенных
в § 2.13. Положим р = 0R, q - 0~; тогда
dT-GP~P + > -fa- RZ '
?=-<ъ-яв"=о,
где т - параметр характеристики. Поскольку q постоянна на каждой
характеристике, она становится удобной характеристической переменной, и,
согласно (12.42),
р=(Шт (1 (12.43)
Характеристики определяются уравнением
Ло д/Л2 д
dR~ р+РД1/2 РЛ5/2 (1 -д2/(р2Л3)) 1/2 •
Они проходят через источник волн (скажем, R = R0, ю = 0), и
соответствующее интегрирование дает
К0 \3/2._ Sin(g - 3/2to) g
(*)¦
р/?о/2 ¦
(12.44)
Из этого уравнения для характеристик можно выразить q как функцию от R и
со, а затем, используя (12.43), найти р. Имеем
=____________РД3/2 sin (3/-2 со)
" {(Д/Д0)3-2(Л/Л0)3/2со8(3/2(о)+1}1/2 '
РД1/2{(Д/Дв)3/2-соз (3/2 а)} 1/2
R {(Д/Д0)3-2(Я/Д0)3/2 соз(3/2и) + 1}1/2 Р
и, наконец,
•-Т^ {(?)-* (?Г" (*=) + * Г+
Гл. 12. Картины волн
402
Этот результат впервые был получен Урселлом [2], уточнившим рассуждения
Тейлора. Для малых со имеем
е^зр№|1_(^)з/2|-1; (12>46)
это согласуется с уравнением Тейлора для линий гребней и хорошо
подтверждается экспериментом.
Этот конкретный пример показывает силу кинематической теории, поскольку
любая попытка прямого подхода к получающейся здесь краевой задаче
представляется совершенно безнадежной.
12.6. Волны во вращающейся жидкости
Для малых возмущений в несжимаемой жидкости, поступательно движущейся со
скоростью U вдоль оси х3 и вращающейся как твердое тело вокруг этой оси с
угловой скоростью Q, линеаризованные уравнения имеют вид
Бщ г,г\ дР! '(Биг ОГ1 дР
-^-2 fiu2=--,
Du3 дР диi . ди<2 . ди3 "
Dt ьй.гз * дх\ ' дх% дх3 '
р 2 ' 1 2 *Dt dt 1 дх3 *
Исключив возмущения скорости, получим для Р уравнение
<12-47)
В случае U = 0 приведенное уравнение для периодических возмущений Р =
сДе-2'10* имеет вид
д2ЛР . д2?Р . /. 4Q2 ч gzgo
T^+toF+t1-sr)-sr=°- <12-48>
Переход типа этого уравнения из эллиптического при со > 2Q в
гиперболический при со < 2Q приводит как к интересному физическому
явлению, так и к интересным математическим задачам. При со > 2Q
возмущение от источника затухает как 1/г2, что характерно для дипольного
решения уравнения Лапласа, тогда как при со < 2Q оно сосредоточено внутри
характеристического конуса, ось которого совпадает с осью х3, а угол
полураствора равен arc tg (4Q2/co2 - I)- 1/2. Для течения внутри сосуда
граничные условия являются эллиптическими, что приводит к необычным
задачам на собственные значения в гиперболическом случае
12.6. Волны во вращающейся жидкости
403
со < 2Q. Решения были найдены для специальных форм сосудов (Гринспэн [1],
Барсилон [1], Франклин [1] ) *).
Когда существует поступательное течение со скоростью U, дисперсионное
соотношение для уравнения (12.47) принимает вид
Волны возможны лишь в том случае, когда (со - Ш:3)2 < 4Q2; для U = 0 это
согласуется с условием гиперболичности уравнения (12.48). Две моды
определяются как
Для точечного источника с постоянной частотой со на оси х3 распределение
волнового вектора к находится из уравнения
Возмущение находится на характеристическом конусе в соответствии с
уравнением (12.48).
При U Ф 0 имеется дисперсия даже для фиксированной частоты со, и
различные значения вектора к, удовлетворяющие соотношению (12.49),
распределены по различным конусам. Описанным выше методом можно получить
полную картину волн; результаты приведены в статье Нигема и Нигема [1].
Но, пожалуй, самые интересные вопросы распространения волн связаны с
задачей, поставленной Тейлором (столб Тейлора).
В своем знаменитом эксперименте Тейлор [2] обнаружил, что если сфера
медленно проталкивается вдоль оси вращения, то весь цилиндрический столб
жидкости, в который вписана эта сфера, движется вместе с ней. Полный
анализ этого явления сложен (см. Гринспэн [1], стр. 192), но некоторую
информацию о нем может дать кинематика волнового процесса. Выберем
стационарную систему отсчета, связанную с основным течением U. Для того
(со-Uk3f /с2-ШЩ = 0.
(12.49)
(12.50)
а групповая скорость имеет компоненты
(12.51)
