Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
утверждение может внушать недоверие и, по-видимому, предпочительнее
вывести его, как было сделано выше, исходя из основного свойства
поверхности раздела.
В дальнейшем удобно описывать поверхность раздела уравнением у = Г) {хх,
х2, t), положив в (13.10)
/ ((r)i, *а. У. *)3Ч (хи ж2> *) - У-Тогда граничное условие принимает вид
= T)t + ЩЦкх + Щ\)х2 = V. (13.11)
Уравнение (13.10) или (13.11) является кинематическим условием на
границе. Существует также динамическое условие. Поскольку поверхность
раздела не обладает массой, силы, приложенные к обеим ее сторонам, должны
быть равны. Отсюда, пренебрегая на время поверхностным натяжением,
получаем, что давление в воде и давление в воздухе у поверхности должны
совпадать.
Любое возмущение поверхности, очевидно, приводит к некоторому движению
воздуха, но можно считать, что связанное с этим изменение давления
пренебрежимо мало и давление воздуха можно аппроксимировать его
невозмущенной величиной. При этом исходим из того, что плотность воздуха
очень мала по сравнению
Гл. 13. Волны на воде
41&
с плотностью воды и изменения давления имеют порядок ри2. Это
предположение можно детально подтвердить с учетом движения' воздуха в
типичных примерах (см. § 13.7).
Если на указанных основаниях пренебречь движением воздуха, то второе
граничное условие принимает вид р - р0, где р - давление в воде,
определяемое вторым уравнением (13.7), а р0 - постоянное значение в
невозмущенном воздухе. Таким образом, два граничных условия на свободной
поверхности записываются в следующем виде:
Т]( + Фа:1Г]ж1 + ф*2Г]з;2 = (рг/, -J
, 1 / S , 2 , 2ч , А Г на У = т1(ж1> *)• (13.12)
Ф" + Т(ф|, + Ф^ + ф?) + ?11 = 0 /
Обычно для уравнения Лапласа задается одно граничное условие, но при этом
считается, что граница известна. На свободной поверхности необходимы два
условия, поскольку кроме ср надо определить еще положение поверхности т].
На твердой неподвижной границе нормальная компонента скорости жидкости
должна обращаться в нуль, т. е. n -V<p = 0. В частности, если дно задано
уравнением у = -h0 (xt, х2), то имеем
Фг/ + Ф*А*1 + <p*A*2= 0 при у = -h0 (хг, .г2). (13.13)
Это частный случай условия на поверхности раздела (13.10) при / (хх, х2,
у, t) = у -(- h0 (хг, х2). Для горизонтального плоского дна hn постоянна
и
В связи с общим использованием вариационных принципов, введенных в гл.
11, важно иметь вариационную формулировку задачи о волнах на воде. В
явном виде ее, по-видимому, до последнего-времени не было, и лишь
сравнительно недавно она была дана в статье Льюка [2]. Конечно, хорошо
известно, что уравнение Лапласа можно получить из принципа Дирихле
Фя = 0 при у = -V
13.2. Вариационная формулировка
(13.14)
(13.15),
но Льюк показал, что вариационный принцип
R
(13.16>
13.2. Вариационная формулировка
419
дает, кроме того, и требуемые граничные условия. Здесь R - произвольная
область в (х, ^-пространстве. Когда выражение (13.17) подставлено в
(13.16), интегрирование проводится по области Rx в (х, у, ^-пространстве,
состоящей из точек, для которых (х, t) ? ?R и -h0^.y^r\. Входящие в
выражение (13.17) члены (pt и gy. дополнительные по сравнению с принципом
Дирихле (13.15), влияют только на граничные условия, поскольку они
интегрируются и дают вклад лишь на границе области Rx.
Для малых отклонений 8ср от ср имеем ч
-^ ^ } dxdt==
R -ho ч ч
= И {"5Г J 6(pdy + ~ir j dy} dxdt-
R -ho -ho
r\
- Hi (ф**Ч + Фг/г/) бФ dV } dx dt -
R -ho
- j J [(% + - Фг/) 8ф]у=ч dx dt +
R
+ j j [(ф.т^ож; + фу) 6ф]у=-.г,п dx dt- (13.18)
R
(По повторяющимся индексам i проводится суммирование с i = = 1, 2.)
Первый член после интегрирования дает вклад только на границе области R и
обращается в нуль, если выбрать 6ф равной нулю на границе области R. Если
(13.18) должно обращаться в нуль для всех 6ф, то необходимо
Фжте + Фг/г/ = °. -h0<y<i\,
Чг + Ф^Лзч -Фв = 0, у = г], (13.19)
Ф + Фг/ = 0, у= - V
Чтобы получить первое уравнение, выберем 6ф = 0 при у = т) и у = -h0, а
потом используем обычные вариационные рассуждения. Затем после исключения
первых двух членов выражения (13.18) подходящий выбор 6ф > 0 при у = т],
6ф = 0 при У = -h0 дает граничное условие при у = ц; аналогичным образом
выбор 6ф = 0 при у - г], 6ф > 0 при у = -h0 дает граничное условие при у
= -h0.
Для вариации 6ц из (13.16) - (13.17) сразу следует, что
6 j j Ldxdt- - р j j [ Фг + (Vф)г + gy (r)ri dt - 0*
R R
Гл. 13. Волны на воде
420
и обычными рассуждениями получаем, что
+ (13.20)
Уравнения (13.19) - (13.20) совпадают с уравнениями, выведенными в
предыдущем параграфе, так что приведенная там формулировка содержится в
(13.16) - (13.17).
Самым существенным в функционале (13.17) является то, что величина в
скобках равна р - р0, и наш принцип является принципом стационарного
давления! Связь этого принципа с принципом Гамильтона подробно
обсуждается Селиджером и Уиземом [1].
Линейная теория
13.3. Линеаризованная формулировка
Для малых возмущений первоначально покоящейся жидкости величины г] и ф
