Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
подробно рассмотрена в гл. 11, а свойства групповой скорости С (к)
указаны в формулах (12.4) - (12.6). Поскольку С (к) - убывающая функция
от к, наиболее длинные волны идут в головной части возмущения, а за ними
следуют более короткие волны. Групповые линии постоянного к и фазовые
линии постоянной 0 приведены на рис. 13.1; типичный волновой пакет
изображен на рис. 13.2.
Гл. 13. Волны на воде
424
В случае конечной глубины существует конечная максимальная групповая
скорость Уgh0 при kh0 ->- 0, так что головная часть
Рис. 13.1. Групповые линии (сплошные кривые) и фазовые линии (штриховые
кривые) для волн на воде.
возмущения движется со скоростью Уgh0. Резкий волновой фронт существует
только в приближении (13.34), но не в полном решении. В полном решении
возмущение затухает экспоненциально
Рпс. 13.2. Волновой пакет вблизи фронта возмущения для волн на воде.
без осцилляций впереди фронта и здесь возмущение относительно мало.
Поскольку С (к) = W' (к) -v Уgh0 и W" (к) -v 0 при kh0 -*~ -v 0,
приближение (13.34) не приемлемо в окрестности переходной области.
Исследуем теперь истинное поведение решения.
IO.U. Поведение решения вблизи фронта волнового пакета
На прямой х = Уgh0 t правильное асимптотическое поведение можно найти при
помощи обобщенного метода стационарной фазы
(11.26), поскольку в нашем случае W" (0) Ф 0. Если значение F (0) конечно
и отлично от нуля, то этот метод дает убывание амплитуды
х
х
(13.36)
13.6. Поведение решения вблизи фронта
425
взамен убывания т) оо t~1/2 вдали от фронта. Поскольку
F(°) = lr J "1° (*)**' (13.37)
эти рассуждения применимы, когда полное исходное возвышение конечно и
отлично от нуля.
Однако хотелось бы иметь решение, дающее равномерное приближение во всей
переходной области. Его можно получить, заметив, что вся переходная
область соответствует малым значениям к. Как выражение (13.34) для
малых к, так и условие (13.36)
для к = 0 можно получить, разложив показатель экспоненты
в интеграле Фурье около х - 0, а не около стационарной точки, и сохранив
члены до третьей степени по х включительно. Согласно (13.26),
W (х) ~ с0х - уха + . . ., (13.38)
где
Co = VWo, Ч = (13.39)
Таким образом, для головной части движущейся вправо волны мы полагаем
ОО
т] - | F (х) exp {ix (х - c0t) -f- iyxH} dx. (13.40)
- ОО
Корректно также разложить в ряд Тейлора функцию F (х) и сохранить только
первый член. Если' интеграл^] j т]0 (х) dx конечен
и выбран равным единице, то этот первый член, F (0), равен 1/(4л) и
решение имеет вид
т]~т]/ = -^- | exp {ix(x-c0t) -f iyxH) dx. (13.41)
Последний интеграл заменой переменных s = (3yt)l/sx можно свести к
обычному интегралу Эйри
Ai(Z> = i- J exp{i(e+4"*)}*=-l-JCOs(e+4-*3)&.
-ОО 0
Тогда получим
Ч/ =----Ц70А1/ х~е.°* ). (13.42)
2 (Зуг) I (З-уг)1/3 /
Гл. 13. Волны на воде
426
График функции Эйри Ai (z) схематически изображен на рис. 13.2. Она имеет
следующее асимптотическое поведение:
Ai (z)
Отсюда видно, что ту экспоненциально убывает впереди волнового фронта х =
c0t и становится осциллирующей за ним. На самой прямой х = c0t имеем т]у
оо t~1/s, что согласуется с (13.36). Переходная область расположена
вблизи прямой х - c0t и имеет ширину, пропорциональную (yt)l/s. Вдали от
переходной области при (х - c0t)/(3yt)1/s -*¦ - оо
% ~ (4лГ1/2 {3yt М ~ х)Г1/4 { 4 +Х } * (13-43>
Можно проверить, что это согласуется с (13.34) - (13.35).
Если F (х) ~ Fnxn, п - некоторое целое число, при х -> О, то решение
(13.40) можно выразить через т]/, взяв соответствующее число производных
по х, если п > 0, или соответствующее число интегралов по х, если п < 0.
Например, решение для ступеньки
ГО, *>0,
Ч" <*>-"{ 1, *
имеет асимптотику
x<i 0
ц ~ ^ т]/ (ж) dx = 1 Ai (s) ds,
(13.44)
(3yt)1/3 *
Функция Эйри обладает следующим свойством:
j Ai(s)ds="l.
Множитель У2 появляется в формулах (13.42) и (13.44) потому, что они
описывают только волны, движущиеся вправо; учет волн, движущихся влево,
обеспечивает выполнение полного начального условия.
Эти асимптотические представления можно вывести проще, заметив, что
дисперсионное соотношение (13.38) соответствует уравнению
тр + с0т)* + 74***= 0. (13.45)
13.7. Волны на поверхности раздела
427
Мы решаем это уравнение для tj0 (х) = V2 б (х) в (13.42) и для т)0 (х) =
V2 Н (-х) в (13.44). Решения принадлежат к семейству автомодельных
решений
П = (3у t)-mfm(z), (13.46)
После подстановки функцию /т (z) легко связать с уравнением Эйри
Ai" (z) = z Ai (z) (13.47)
и построить решения.
Уравнение (13.45) является линеаризованным уравнением Кортевега - де
Фриза, которое будет играть важную роль ниже. Можно отметить, что для
любого дисперсионного соотношения с разложением вида (13.38) длинные
волны в линейной теории описываются уравнением (13.45) и применимы
решения (13.42) и (13.44).
Можно указать также на одно ограничение применимости линейной теории. В
формуле (13.42) амплитуды первых нескольких гребней убывают как t~1/s, в
