Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(2(о/(о0). В этой и в следующих статьях (Рерити [1], Моубрей и Рерити
[2]) авторы подробно исследуют теоретические картины, а также изу-
Рис. 12.9. 1: изображение невозмущенной жидкости; 2: (о/(00 = 0,318; 3:
(о/(о" = 0,366; 4: со/оо0 = 0,419; 5: со/оо0 = 0,615; 6: со/оо0 = 0,699;
7: (о/(00 = 0,900; 8: (о/(00 = 1,11. (Моубрей и Рерити {!].)
Гл. 12. Картины волн
408
чают картину волн, создаваемых движущейся сферой. Практически
распределение плотности несколько отличается от экспоненциального, и на
некоторых фотографиях можно заметить искривление групповых линий,
обусловленное зависимостью со0 от у. Это иллюстрирует эффекты
неоднородности среды, причем различные ситуации можно анализировать
кинематическими методами, развитыми в предыдущей главе и примененными в §
12.5.
12.8. Кристаллооптика
Анизотропность среды зачастую приводит к удивительным следствиям для
картин волн в кристаллах. Благодаря кристаллической структуре существуют
выделенные направления для диэлектрических свойств, и поэтому связь между
электрической индукцией D и электрическим полем Е должна описываться
тензорным соотношением. Для магнитного поля справедливо обычное
соотношение В = р0Н. Указанные эффекты можно учесть, положив в уравнениях
Максвелла
В общем случае тензор диэлектрической проницаемости Гц будет зависеть от
частоты со. Это можно учесть, используя соотношения (12.63) только после
исключения зависимости от времени e~iat. Для плоских волн, когда все
компоненты описывающих поля векторов пропорциональны e?k-x-ico^ уравнения
Максвелла сводятся к следующим:
Поскольку В сю Н, векторы k, D и Н взаимно ортогональны, так что векторы
D и Н лежат в плоскости, ортогональной направлению распространения волн.
Поскольку вектор Е ортогонален В, он лежит в одной плоскости с векторами
D и к, но в общем случае не ортогонален направлению распространения.
Исключив из уравнений (12.64) В и Н, получим
co2p0D -j- k X (k X E) = 0.
С учетом зависимости D от Е это дает
to2\i0EijEj -j- ktkjEj - k2Et = 0.
Дисперсионное соотношение получается теперь из условия обращения в нуль
определителя
Dt = ?i}Eh Bt = ро Н^'
(12.63)
-icoB -f (k X Е = 0, -icoD -f /к X Н = 0.
(12.64)
G (со, к) == | to2poeij + kikj - к28i} | = 0. (12.65)
12.8. Кристаллооптика
409
При выяснении деталей картин волн удобно выбрать в качестве осей
координат главные оси тензора Ец. Если соответствующие главные значения
равны е1? е2, е3, то равенство (12.65) принимает вид
G (со, к) = (о6(Хое1е2е3 -
В случае источника с фиксированной частотой со уравнение
(12.66) описывает поверхность в к-пространстве, определяющую возможные
значения волнового вектора к для элементов возбуждаемых волн. Для каждого
допустимого значения вектора к соответствующая групповая скорость равна
и, следовательпо, направлена по нормали к поверхности (12.66), как
показано на рис. 12.10, а. Это геометрическое соответствие между С и к
полезно при построении картин волн.
Рис. 12.10. а - дисперсионная поверхность в k-пространстве, Ъ - фазовая
Двойственная поверхность также полезна. Ее можно построить при помощи
фазовых поверхностей, образованных периодическим точечным источником,
расположенным в начале координат. Этот частный случай не представляет
особого интереса в кристаллооптике (поскольку трудно представить себе
источник, внедренный внутрь кристалла), но может быть полезен при
построении и анализе анизотропных волн общего вида.
Элементы волны с волновым вектором к находятся в направлении С (к) от
источника. Следовательно, для каждого направления С от источника можно
определить соответствующее этому направлению значение вектора к (см. рис.
12.10, Ъ). Но в общем случае скорость движения фазовой поверхности вдоль
групповых линий
- ю4Ро {?2?з (K-'rkl) + e3ei 04 + М) + f'6'2 04 И - Щ +
+ (о2(г0/с2 {ci/cj -\-e2k22+e3kl} = 0. (12.66)
(12.67)
С
к
а
Ъ
поверхность в х-пространстве.
Гл. 12. Картины волн
410
не совпадает со скоростью С. Фазовая скорость в направлении к имеет
величину to Ik. Поэтому точка пересечения фазовой поверхности и групповой
линии движется со скоростью ы/(к cos р.), где р - угол между С и к. За
время t фазовая поверхность проходит путь от начала координат до точки
"¦г=^-сг. (12.68)
Acosp С к-С
Варьируя к по всем допустимым значениям (12.66), получаем фазовую
поверхность.
Другой вывод можно получить, заметив, что фаза 6 (х, t) выражается
формулой
X
6(х, ?)=-to? + J к-йх, (12.69)
о
где интеграл можно взять вдоль групповой линии, проходящей через х.
Следовательно,
6 = -tot + к cos р|х|. (12.70)
Фазовая поверхность 0 = 0, покинувшая начало координат при t = 0, к
моменту времени t пройдет путь
it <° *
х = -------1
1 1 к cos р
вдоль групповой линии с направлением С. Отсюда следует соотношение
(12.68).
В оптике обычно вводят лучевой вектор s, определяемый формулой
8=-дагс' (12-71>
где с0 - скорость света в вакууме. Тогда фазовые поверхности даются
соотношением
х = s c0t. (12.72)
