Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
то время как дисперсионные эффекты {пропорциональные квадрату длины
волны) убывают как t~2/s. Таким образом, в окончательной стадии
нелинейные эффекты постепенно становятся столь же важными, что и
дисперсия.
При соответствующих условиях существуют промежуточная область, в которой
применима асимптотическая линейная теория. Из-за нелинейных эффектов в
уравнение (13.45) должен войти дополнительный член, пропорциональный
т]цж. При этом уравнение превращается в полное уравнение Кортевега - де
Фриза, и мы увидим впоследствии, что затухание со временем прекращается и
образуется ряд уединенных волн. Неравномерность приближения линейной
теории вблизи фронта волнового пакета аналогична общей ситуации для
гиперболических уравнений, рассмотренной в гл. 2.
13.7. Волны на поверхности раздела между двумя жидкостями
Рассмотренная выше теория игнорирует изменения давления над поверхностью
воды, связанные с движением воздуха. Здесь мы подтвердим это
предположение на типичном примере. Рассуждения можно с пользой объединить
с рассмотрением других эффектов на поверхности раздела между двумя
жидкостями, включая случай сравнимых плотностей. Пусть жидкость с
плотностью р' расположена над жидкостью с плотностью р, и пусть для
простоты обе жидкости имеют бесконечную глубину. Течения безвихревые
Гл. 13. Волны на воде
428
с потенциалами <р и <р соответственно, и поверхность раздела описывается
уравнением г/ = г]. Давления в жидкостях удовлетворяют соотношениям
Р'- Ро= -р' {ф1+^-(^ф')2+#г/},
р-Ро= -р {ф* + у (уф)2+й/}.
где р0 - общее невозмущенное давление, а условия на свободной поверхности
имеют вид
Р'==Р. "J
f\t -f- фзс1Т]зс1 "Ь фаяПэд Ф1/ = / при У - Т]
% + фаиП*! + Фа2Т]ад - Фг/ = О J Интересно рассмотреть возмущения
стационарных течений со скоростями U', U в обеих жидкостях. Рассматривая
только одномерные волны и линеаризуя граничные условия, полагаем
у' = и,х-±и,Ч + Ф,1 ц> = их-±-иЧ + Ф
и сохраняем только члены первого порядка по Ф', Ф и т]. Граничные условия
переходят в следующие:
р'(Ф; + Е/'Ф*+?Т]) = р(Ф, + [/Фж + ?т1), 'j
тр + г/Чс - Ф1/ = 0, > при у = 0. (13.48)
ф1/ = ° j
Поскольку функции Ф' и Ф удовлетворяют уравнению Лапласа и стремятся к
нулю при у-v + оо, у - оо соответственно, элементарные решения имеют вид
ф' = Ф _ ВеЦхх-Ш)+У,у ^
- Aeityx-"о.
Тогда граничные условия (13.48) дают дисперсионное соотношение
-СО = pU+p'U' /Х?^?1- РР* .. (U ~U,)2V/i. (13.49)
я р+р' \ я р+р' (Р + Р)2 v ' ) v
Для случая U = V = 0 находим, что
1/2
Этот результат в пределе при р'/р -*¦ 0 подтверждает элементарное
решение, в котором не учитывается движение воздуха, и дает малую
поправку.
Интересно, однако, что, когда ю имеет мнимую часть, полученные выражения
свидетельствуют о различных случаях неустойчивости. Можно выделить
следующие случаи.
13.8. Поверхностное натяжение
429
1. U = U' = 0. Этот случай неустойчив, если р' > р, как и следовало
ожидать.
2. g = 0, U Ф' U'. Этот случай всегда неустойчив (неустойчивость
Гельмгольца).
3. р = р', U Ф U'. Этот случай аналогичен случаю 2, поскольку
гравитационные эффекты могут возникать только при различных плотностях.
4. р ф. р', U =? U'. Решение всегда неустойчиво для достаточно коротких
волн, но этот результат можно уточнить, учитывая стабилизирующее влияние
поверхностного натяжения для самых коротких волн. Эффекты поверхностного
натяжения легко включить в рассмотрение при помощи соответствующего
граничного условия.
13.8. Поверхностное натяжение
Поверхностное натяжение действует подобно растянутой мембране на
поверхности воды. Для малых отклонений у - ц (хг, х2, t) от плоской
поверхности это суммарное действие сводится к нормальной силе Тг]х.х. на
единицу площади. Когда этот эффект учитывается, то условие для давления
на поверхности принимает вид Р + ТЧцщ^Ро (13.50)
и линеаризованные условия (13.21) записываются так:
Ч* = Ф". 4>t + gr}-= 0 при у = 0. (13.51)
Функциональные зависимости для ц и Ф такие же, как и прежде, но
пересмотренные граничные условия на поверхности приводят к дисперсионному
соотношению
aP - gx th xh0 ^ 1 и2) (13.52)
Дисперсионные соотношения такого вида уже обсуждались выше (см. гл. 12).
Как было указано, групповая скорость достигает минимального значения при
к = km. В точке минимума W" (km) = 0, и опять существует переходная
область, в которой выражение (13.34) неприменимо. Поведение решения в
этой переходной области можно выяснить способом, аналогичным
использованному в § 13.6. Разложение
W=W(km) + (x-km) W {km)+±-{x- kmf W (km) + ...
Гл. 13. Волны на воде
430
подставляется в полученное при помощи преобразования Фурье решение, и
результат выражается через функцию Эйри. Детали приведены, например, в
книге Джеффриса и Джеффрис (Свирлс) И, § 17.09].
13.9. Волны на поверхности стационарного потока
Геометрия различных стационарных волновых движений была найдена в гл. 12.
Изменения амплитуды вдоль каждой групповой линии можно определить,
основываясь на общих концепциях групповой скорости. Однако, как
