Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уизем Дж. -> "Линейные и нелинейные волны" -> 146

Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны — М.: Мир, 1977. — 638 c.
Скачать (прямая ссылка): lineynieinelineynievolni1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 140 141 142 143 144 145 < 146 > 147 148 149 150 151 152 .. 215 >> Следующая

малы и уравнения при первом рассмотрении можно линеаризовать.
Линеаризованные условия на свободной поверхности (13.12) имеют вид
•Пг = Фю Фг + ?*] = 0, (13.21)
и можно провести дальнейшую линеаризацию, наложив эти условия на
поверхности у = 0 вместо у = т]. После этой дальнейшей линеаризации т]
можно исключить, что дает
фгг + ЕЧу = 0 на у = 0.
Уравнение Лапласа и граничное условие на дне (13.13) уже линейны и не
зависят от г). Таким образом, мы имеем линейную задачу для одной функции
ф:
ф"!*! + фж2а:* + Фиг/= 0, -У <С 0,
Ф44-|-?ФВ = 0, у = 0, (13.22)
Фг/ ^Ожхфжх + ^ОэсгФжа = У ~ ^0"
После того как решение ф найдено, уравнение поверхности, cor ласно
(13.21), определяется формулой
т]^!, ж2, f)= -уфt{xu ж2, 0, t). (13.23)
Задачу (13.22) следует дополнить подходящими начальными условиями.
13.5. Задача Коши
421
13.4. Линейные волны на воде постоянной глубины
На воде волны распространяются горизонтально, так что элементарные
решения имеют вид
г] = ф = Y {у) eiy,x-iat;
они осциллируют по х, t, но не по у. Функция ф такого вида будет решением
уравнения Лапласа, если
F"_x2F = 0, хНЧ^К + Ф17*-Для воды с постоянной глубиной h0 должно
выполняться следующее граничное условие: У' (у) = 0 при у = -h0. Поэтому
Y оо chx(/i0 + i/).
В силу (13.23), для амплитуды функции г) имеем
A = 0) е '
и соответственно
У{у)=-^А сЬУ1^-\+у).
'и/ to ch Kh0
Тогда
r\ = AeiiC'x-m,
ф=-Ад "¦'"у (13.24)
Оставшееся условие ф44 + gq>v = О при у = О дает дисперсионное
соотношение
to2 = gx th vh0. (13.25)
В § 11.1 было указано, что дифференциальные уравнения должны приводить к
полиномиальным дисперсионным соотношениям при условии, что зависимость от
всех независимых переменных синусоидальна. В данном случае получилось
трансцендентное уравнение (13.25), поскольку зависимость от у не
синусоидальна. Можно считать, что все волны распространяются в (х, ^-
пространстве и что зависимость от у указывает на связь между волновыми
движениями на различных глубинах.
13.5. Задача Коши
Дисперсионное соотношение (13.25) имеет две моды to = ±W (х),
где _________
W (х) = Y S'* th (13.26)
Точка х = 0 не является точкой ветвления, поскольку gn th xft0 ~ ~ gh0y2
при uh0 -v 0. Функция W, выбранная таким образом, что
Гл. 13. Волны на воде
422
W ~ xj/~gh0 вблизи нуля, однозначна и аналитична на вещественной оси х.
Она имеет точки ветвления в других нулях и полюсах thxh0, т. е. xh0 =
±rau, + (?г - 1/z)ni, п = 1, 2, 3, ... . Функция W (х) является
однозначной аналитической функцией переменной х в комплексной х-плоскости
с разрезами от -осн до -ni/(2h0) и от ni/(2h0) до оо г.
Общее решение получается преобразованием Фурье и суперпозицией
элементарных решений (13.24) для двух мод со = ±W (х). Для нахождения
произвольных функций F (х), входящих в решение, необходимы два начальных
условия. Конечно, функция ф в начальных условиях должна удовлетворять
уравнению Лапласа, иначе в игру вступят эффекты сжимаемости и быстро
преобразуют исходное распределение в некоторое новое эффективное исходное
распределение. Для простоты рассмотрим жидкость, первоначально
находившуюся в состоянии покоя с ф = 0. Тогда, согласно
(13.21), в начальный момент гр = 0. К этому мы добавим заданную исходную
поверхность
г) (х,0) = т]0 (х), t = 0. (13.27)
Решение этой задачи имеет вид
т] (х, /) = J F (х) е""*х-тч dx-\- J F (x) eiy,x+iwtdx, (13.28)
где F (x) - преобразование Фурье функции V2 rp (x)>
Для одномерной задачи переменные х и х в (13.28) являются скалярами и
F(x) = ~- j т]0 (x)e~iKxdx. (13.29)
Общее решение можно восстановить по частному случаю ц 0 (ж) = = б (ж), F
(х) = 1/ (4л), известному в теории волн на воде как задача Коши -
Пуассона. Ее решение можно представить в виде
t](x, t) = -i- ^ cos хх cos4(1F(x) t) dx, (13.30)
0 _
как уже было указано в (11.19).
При наличии осевой симметрии относительно вертикали двумерное выражение
(13.28) сводится к следующему:
со 2л
T](r, t) = 2 J J xF (х) еЫг cos 5 cos (W (х) t) dx dl, о о
13.5. Задача Коши
423
где г = | х |, х = | х | и ? - угол между х и х. Учитывая интегральное
представление для функции Бесселя /0
2nj
= ^ j eixr.co^d^j О
ато решение можно записать в виде]
r]f(r, f) = 4л j xF(x)/0(xr)cos(l?(x)f)dx. (13.31) о
Аналогичным образом, формулу обращения преобразования Фурье можно
^записать в виде одномерного интеграла
4 Г г"
р (и) = щ J гг1о (г)=/о (кг) dr. (13.32)
Конечно, эти равенства можно получить также разделением переменных в
полярных координатах и преобразованием Фурье - Бесселя. Для 6-образного
начального условия т]0 (г) = 6 (г)/(2лг) имеем
т] (г, t) =¦¦ j х/0 (xr) cos (W (13.33)
о
К этим решениям можно применить асимптотические методы, описанные в гл.
11. В частности, согласно (11.24) - (11.25), асимптотическое поведение
одномерного решения таково:
гЧ ~ 2,Ret(F (к) У f|vy(fc)| ехр {ikx- iW (к) * +
t-+ ОО, ^>0, (13.34)
где к -положительный корень уравнения
(13.35)
a|F (к) определяется формулой (13.29). Интерпретация этих выражений
Предыдущая << 1 .. 140 141 142 143 144 145 < 146 > 147 148 149 150 151 152 .. 215 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed