Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, лучевой вектор s пропорционален групповой скорости, но
имеет приведенную величину, чтобы определять распространение фазы вдоль
луча (групповой линии) в долях от с0. Поскольку s есть функция от к и
обратно, дисперсионное соотношение (12.66) можно использовать для
нахождения соответствующей поверхности в s-пространстве. Поскольку эта s-
поверхность является канонической формой фазовой поверхности, нормаль к
ней в любой точке направлена вдоль к. Таким образом, используя s вместо
С, получаем двойственные свойства к- и s-поверхностей.
12.8. Кристаллооптика
411
В оптике также принято работать с коэффициентом преломления n = с0к/со
вместо к. Тогда имеем дополнительное соотношение s-n = 1. Для любой точки
на n-поверхности соответствующий вектор s направлен вдоль нормали, и его
величина равна обратной величине к расстоянию от начала координат до
касательной плоскости в данной точке. Обратно, на двойственной s-
поверхности соответствующий вектор п направлен вдоль нормали, и его
величина равна обратной величине к расстоянию до касательной плоскости.
В частном случае, когда дисперсионное соотношение однородно по со, кг,
/с2 и к3, дисперсионная функция обладает свойством
G (рсо, рки рк2, рк3) = О
для произвольного числа р. Тогда, дифференцируя по р и полагая затем р =
1, имеем
a>G(o -4* ktGh. - 0.
Следовательно, к -С = со. В этом случае, но только в этом случае, формула
(12.68) сводится к равенству
х = С t
и фазовые поверхности распространяются вдоль групповых линий со скоростью
С. Различие между групповой и фазовой скоростями в точности
компенсируется характеризующим наклон множителем cos р.. Этот частный
случай применим, например, к соотношению (12.66), если тензор e?j- не
зависит от со.
Одноосные кристаллы
В случае одноосного кристалла с осью симметрии имеем е2 = 8з, и эт0 общее
значение обозначается через е±. Тогда дисперсионное соотношение (12.66)
факторизуется, так что возникает две возможности;
|_Л±Ч_.
ех^о е#о
Казалось бы, анизотропия должна искажать волны, и несколько неожиданно,
что происходит расщепление и одно семейство остается изотропным.
Интересное явление кристаллооптики связано прежде всего с этим
расщеплением.
Теперь мы имеем две поверхности в k-пространстве, как показано на рис.
12.11, а. Волны, описываемые соотношением (12.73), изотропны, имеют
скорость (ej_p0)-1/2 и называются обыкновенными
(12.73)
(12.74)
Гл. 12. Картины волн
412
волнами. Соответствующая поверхность в к-пространстве является сферой,
групповая скорость направлена вдоль к, и дисперсия возникает только
тогда, когда зависит от со. Второе семейство волн, описываемое
соотношением (12.74), называется необыкновенным, и поверхность в k-
пространстве является эллипсоидом; эти волны диспергируют. Поверхности
изображены на рис. 12.11, а для
а Ъ
Рис. 12.11. а - дисперсионные поверхности в к-ирех чраистве для
одноосного кристалла, Ь - фазовые поверхности в х-ирострапстве для
одноосного кристалла.
случая et> . Для каждого к существуют две групповые скорости С0 и Се. Как
следствие получаются две фазовые поверхности, изображенные на рис. 12.11,
Ъ. Для обыкновенных волн С0с"ки уравнение фазовой поверхности (12.68)
имеет вид
(12.75)
в, РоЫ
Используя для исключения вектора к соотношение (12.73), находим фазовые
поверхности
е±Ро (п2 + ж! + аф = г2; (12.76)
это обыкновенные сферические волны, распространяющиеся со скоростью
(е_гр.о)-1/2- Для необыкновенных волн
(12-77)
12.8. Кристаллооптика
413
и уравнение фазовой поверхности (12.68) имеет вид
(
(12.78)
Согласно (12.74), фазовые поверхности являются эллипсоидами
Канонические s-поверхности получаются из (12.76) и (12.79) заменой х =
sc0t.
Для необыкновенных волн направление распространения волн с волновым
вектором к определяется соотношением (12.77). Волны
Рис. 12.12. Дисперсионные поверхности в к-пространстве для двухосного
с вектором к, составляющим угол ф с осью симметрии, распространяются под
углом определяемым из уравнения
Вследствие этого расщепления луч, падающий на одноосный кристалл, как
правило, при преломлении расщепляется на два отдельных луча. Преломленные
лучи определяются из условия непрерывности касательной составляющей kt
вектора к. Но для заданной составляющей kt существуют два допустимых
волновых вектора к, удовлетворяющих соотношениям (12.73) и (12.74)
соответственно. Преломленные лучи распространяются по направлениям
соответствующих групповых скоростей.
+ei8o ixl + xl) = t2.
(12.79)
кристалла.
fci
(12.80)
Гл. 12. Картины волн
414
Двухосные кристаллы
Для двухосных кристаллов с неравными главными значениями бц е2, е8
поверхность (12.66) состоит из двух листов с четырьмя изолированными
точками пересечения вместо окружности касания сферы и эллипсоида на рис.
12.11, а. Один октант этой поверхности изображен на рис. 12.12 для случая
ех < е2 <; е3. Точка Р является одной из точек пересечения, остальные
расположены симметрично в других квадрантах (кг, /с3)-плоскости. В особой
