Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
E^° -л/2 X о 4 И°
где
X0 = yf9 g 2-----~tT~~-- (13.69)
f/2 cos2 % U cos x
Гл. 13. Волны на воде
436
Поскольку cos % > 0, полюс к = к0 лежит в нижней половине комплексной х-
плоскости.
Картина симметрична относительно оси хи так что достаточно рассмотреть
интервал 0 < ? < л. Когда cos (? + %) > 0, т. е. -л/2 </.%</. л/2 - ?,
контур интегрирования в х-пдоскости можно направить вдоль отрицательной
мнимой полуоси и полюс дает вклад; когда cos (| + у) < 0, т. е. л/2 - | <
% < л/2, его можно направить вдоль положительной мнимой полуоси и полюс
вклада не дает.
Дальнейшие вычисления становятся довольно громоздкими, если стараться
аккуратно следить за всеми членами. Здесь мы укажем вклад полюса и
прокомментируем остальные члены. Вклад полюса составляет
п/2-5
-п/2
где в щ теперь можно опустить член с е. Функция
s(X) = KoCos(?+%) =
имеет стационарную точку при у = ф, где
tg(S + '4>) = 2tgTj). (13.70)
При помощи стандартной формулы метода стационарной фазы находим, что
TjJw)1/2 ехр ( "irsШ~sgns"(ч>)}] •
После некоторых упрощений это дает " / 2g \1/2 р (1 -4-4 tga Ч>)1/4
"
\ яг / J73cos3^ f i - 2 tg2 ф J1 /2
X sin | Ат cos (i + ф) + -у sgn s" (ф) |, (13.71)
где
k = Щ (Ф) = и2 cos2 ^ (13.72)
и ф (?) определяется из (13.70).
Определение волнового числа к и ф из (13.70) и (13.72) согласуется с
(12.32); фаза кг cos (|+ф) согласуется с (12.35). Амплитуда имеет
особенность при ? = ?т = 19,5°, где tgф = 2-1/2. Именно
здесь сливаются, образуя заострение, боковой и поперечный
гребни, что соответствует слиянию двух стационарных точек, определяемых
уравнением (13.70). Поскольку s" (ф) ->- 0, имеем
13.10. Теория мелкой воды; длинные волны
437
переходную область того же общего типа, что ив § 13.6. Скачок фазы на
сторонах угла ? = ±|т равен л/2. Сингулярное поведение на оси xt, где ф
0, связано с предположением о точечном характере возмущения. Сингулярные
области подробно изучены Урселлом [1].
Нелинейная теория
13.10. Теория мелкой воды; длинные волны
Для гравитационных волн с xh0 -0 дисперсионное соотношение принимает вид
to2 ~ gh0xz (13.73)
и фазовая скорость с0 = Уgh0 становится независимой от к. Дисперсионные
эффекты при этом пропадают, и в одномерном случае преобразование Фурье
дает
r]= j F(x) егк(ж-с0<) + j G (X) ег^(ж+соО dx ==
= f(x - Col) + g (x 4- c0t),
т. e. общее решение линейного волнового уравнения
Пн - СХ* = 0. (13.74)
Ясно, что должен существовать прямой способ вывода этого уравнения из
полных уравнений, и фактически он уже был дан в более общей постановке в
§ 3.2. Там при изучении речных волн были учтены нелинейность и трение.
Здесь мы пренебрегаем эффектами трения, но учитываем нелинейность.
Прежде всего вспомним предыдущий вывод. Ключевой момент состоит в том,
что проекция уравнения сохранения импульса (13.2) на вертикаль
аппроксимируется уравнением
-±-pL-g = 0.
р ду
Тогда
Р - Ро = Р? (Н - У)- (13.75)
Проекции уравнения (13.2) на горизонтальные оси имеют вид
dui , dui , dui 5ti
(13-76)
(теперь мы используем смешанные обозначения u = (ul7 и2, к)" х = (х1г х2,
у), так что i = 1, 2, и суммирование в (13.76) прово-
Гл. 13. Волны на воде
438
дится по j =?= 1, 2). Поскольку правая часть не зависит от у, скорость
изменения ut вдоль траектории частицы не зависит от у. Поэтому, если щ
первоначально не зависит от у, то это справедливо и для, всех последующих
моментов времени. Будем считать, что это выполняется; тогда уравнения
(13.76) записываются так:
<13-77>
Хотя в соотношении (13.75) мы пренебрегли вертикальным ускорением по
сравнению с оставшимися членами, нет оснований пренебрегать членом dv/dy
в (13.1). Однако мы можем использовать проинтегрированную форму уравнения
(13.1), которая должна дать уравнение сохранения
-§-+^г(^) = °, (13.78)
где
h = h0 ц
представляет собой полную глубину от у = -h0 у дна до у = ц у
поверхности. Подробнее:
"/10
= -^Г i uidy + [v$=-hB
-ho
в силу граничных условий (13.11) и (13.13), это сводится к следующему:
~ J utdy + ^. = 0.
-ho
Поскольку в этом приближении цг не зависит от у и гц = ht, отсюда следует
(13.78). Уравнения (13.77) и (13.78) для ц (х, t) и и (х, t) называются
уравнениями мелкой воды. (Уравнения (3.37) получаются отсюда, если
(13.77) переписать в виде gdx\ldx = (= gdhldx - gS, где S = dhjdx - уклон
дна, и добавить член, описывающий трение.)
Легко оценить порядок величин в сделанном приближении. Ошибка дляр в
(13.75) имеет порядок рh0vt, и, в силу (13.1), v ~ - k0ux. Поэтому
относительная ошибка в (13.77) имеетпорядок
Dv ilnUwf fot\
- [Mih/=n
13.10. Теория мелкой воды; длинные волны
439
где I - характерная длина волны в ^-направлении. Это согласуется с
приближением (х/г0)2 1, использованным при выводе
(13.73). Таким образом, уравнения (13.77) - (13.78) дают замкнутую^
нелинейную систему для сравнительно мелкой воды, или, эквивалентно, для
сравнительно длинных волн. Эффекты дисперсии в этом приближении
отсутствуют. В следующем параграфе уравнения мелкой воды будут выведены в
