Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
В другом пределе а Р длина волны даваемая равенством (13.110), стремится
к бесконечности, и мы имеем уединенную волну.
Решение уравнения (13.108) можно выразить через эллиптические функции
Якоби. При этом получаем
? = асп*{(^-)1/2х}, (13.114)
(13.115)
причем модуль т эллиптической функции равен
а \ 1/2
/ а \ 1
~\ Р )
и для длины волны имеем формулу
К = ^К(т), (13.116)
1де К{т) - полный эллиптический интеграл первого рода. Из-за того, что в
(13.114) входит сп, Кортевег и де Фриз назвали эти решения кноидалъными
волнами. Из (13.114) следует, что р характеризует отношение h2Jl2. Ясно
также, что модуль т дает сравнительную оценку эффектов нелинейности и
дисперсии. В линейном пределе т 0, сп ? cos в другом пределе т -> 1,
соответствующем уединенной волне, сп ? ->¦ sech ?.
Опять следует отметить, что кноидальные волны являются решением уравнения
Кортевега - де Фриза для всех аир, ограниченных только условием 0 ^ а ^
Р, но сами уравнения спра-Ведливы лишь тогда, когда аир малы. Подобно
уединенным волнам, кноидальные волны ограничены по высоте и в пределе
имеют острые гребни. Теоретический анализ не дает здесь полной картины.
Чтобы дополнить сведения о уединенных волнах, заметим, что, Согласно
численным расчетам, периодические волны на глубокой воде образуют острые
гребни при аГк = 0,142 (Мичелл [1]). Строго говоря, зто вне области
применимости теории Кортевега - де Фриза, но, возможно, она дает
примерный порядок величин. Считая а " lU ah0, К " (2л/г0)/(ЗР)1/2
(формулы линейной теории), мы должны интерпретировать зто как ар1/2 я* 1.
Критическое
13.13. Волны Стокса
453
значение для уединенных волн а " р " 0,7-0,8 согласуется с этой грубой
оценкой.
В конце § 13.6 было указано, что решения линеаризованной теории (а/p 1)
перестают быть справедливыми вблизи фронта волнового пакета, так как
эффективное значение отношения а/р возрастает вместе с t при t -> оо.
Поскольку приведенные выше периодические решения переходят в уединенные
волны, когда а/р стремится к 1, можно ожидать, что в результате появится
серия уединенных волн.
Эту и другие задачи теперь можно изучать аналитически благодаря
замечательным исследованиям Крускала, Грина, Гарднера, Миуры и их
сотрудников. Они разработали метод нахождения общего решения уравнения
Кортевега - де Фриза, и это решение описывает основные черты распада
произвольного конечного исходного распределения на серию уединенных волн.
Можно также привести явное решение для столкновения двух или более
уединенных волн. Эта работа связана с аналогичными результатами для
других уравнений и другими физическими при. ложениями, и поэтому ее
изложение перенесено в гл. 17.
Продолжим теперь рассмотрение пеииодических волн.
13.13. Волны Стокса
Исследования Стокса волн на воде (первая публикация [1] в 1847 г.)
положили начало нелинейной теории диспергирующих волн. Именно в этой
работе, намного опередив другие исследования в данной области, он получил
следующие фундаментальные результаты: во-нервых, в нелинейных системах
могут, существовать периодические волновые пакеты и, во-вторых,
дисперсионное соотношение содержит амплитуду. Зависимость от амплитуды
приводит к важным качественным изменениям в поведении решения и вводит
новые явления, а не только численные поправки.
Проще всего изложить подход Стокса на примере уравнения Кортевега - де
Фриза и затем сформулировать более общие результаты без детального
исследования полных уравнений для случая произвольной глубины. Цель
Стокса состояла в нахождении еле-дующего приближения к линейному
волновому пакету. Для уравнения Кортевега - де Фриза это соответствует
разложению но степеням а при а <С Р- Такое разложение можно получить из
точного решения (13.114), но проще и поучительнее обратиться
непосредственно к исходному уравнению. Будем искать решение уравнения
(13.99) в виде ряда
-^ = ? = e?i (0) + в*?а (0) + г% (0) + ..., (13.117)
Q - усх-(at,
Гл. 13. Волны на воде
454
где е - малый параметр, равный alh0 (пропорциональный а). При этом мы
получим цепочку уравнений:
(со - с0х) ?; - ук%;' = О,
(со- с"х) ?2-ух3?"' ==-§¦ C(Pl
(со-с"х) - ух%" = j- с0я (S1S2)'" и т. д. Первое уравнение имеет решение
= cos 0, со = со" (х), где со о (и) - линейная дисперсионная функция со о
(и) = с0 (х) - ух3.
Подставив эти значения в правую часть второго уравнения для ?а, получим
выражение, пропорциональное sin 20, и можно найти решение ?2 cos 20.
Тогда в третьем уравнении правая часть будет линейной комбинацией sin 0 и
sin 30. Член с sin 30 можно согласовать с решением ?3 <>=> cos 30, но
член с sin 0 резонирует с оператором в левой части, поскольку подстановка
?3 00 cos 0 обращает левую часть в нуль. Имеется решение ?3 оо 0 sin 0,
но этот "вековой член" неограничен но 0. Стокс указал, что можно найти
периодическое решение, представив со также в виде степенного ряда
со = со" (х) + есох (х)4-е2со2 (х) + . . . .
Поскольку неприятности возникают только в третьем порядке, Можно заранее
