Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
включена.
Гл. 13. Волны на воде
442
Условия на боре (13.81) можно переписать в следующей удобной форме:
и = щ-h | (*!+*") }i/2t (13-87)
и2^щ +{ еК }1/2. (13.88)
Дальнейшие законы сохранения
Интересно, что уравнения мелкой воды (13.79) допускают бесконечное число
законов сохранения общего вида
±P{u,h) + lQ{u,h) = 0,
необходимо лишь, чтобы выполнялись условия
Qu = иРи + hPh, Qh = gPu + uPh-Таким образом, любое решение уравнения
gPuu ~ kPhh
приводит к закону сохранения. Наиболее интересны полиномиальные по и и h
решения. Их можно последовательно получить, полагая
^=2 Pm(u)hm;
т~ О
тогда
= т = 2, ..., п,
Ро=°" Рп = 0.
Первые несколько решений имеют вид
р Q
и Yu2 + gh
h uh
uh u2h-\- у gh2
j "2h + ~ gh2 у u3h-\-ugh2
Y u3h-\- ugh2 jA+y u2gh2 + Y g2h3
Второе, третье и четвертое решения отвечают законам сохранения массы,
импульса и энергии соответственно. Другие очевидной
13.11. Уравнения Кортевега - де Фриза и Буссинеска
443
интерпретации не имеют. Однако, поскольку каждое из них можно
использовать для получения постоянного интеграла
j {Р (u, h) - Р (О, /г0)} dx = const,
в любой задаче, для которой и -> 0, h -*¦ k0 на ± оо, известно
бесконечное число интегралов решения. Следовательно, мы вправе ожидать,
что решение можно найти аналитически. Действительно, при помощи
преобразования годографа уравнения (13.79) можно перевести в линейное
уравнение и в принципе решить; дальнейшее решение совпадает с анализом §
6.12 при у = 2.
13.11. Уравнения Кортевега - де Фриза и Буссинеска
Посмотрим теперь, как в теорию мелкой воды можно включить дисперсионные
эффекты. Это можно сделать, продолжив формальное разложение по малому
параметру (h0/l)2 и учтя члены следующего порядка по сравнению с теорией
мелкой воды. Однако, прежде чем проделать это, для лучшего понимания
общей ситуации полезно применить более простую интуитивную процедуру.
Рассмотрим случай одномерных волн при постоянной глубине k0.
Линеаризованный вариант искомых уравнений должен дать дисперсионное
соотношение (13.25) в следующем после (13.73) приближении:
ш? = с*к2-J-cXx4. (13.89)
Уравнение для р с таким дисперсионным соотношением имеет вид
¦Пи - Coibc-(13.90)
Уравнения мелкой воды (13.79) после линеаризации дают (13.74). Если к
уравнениям (13.79) мы смогли бы добавить дополнительный линейный член
так, чтобы их линейный вариант давал уравнение (13.90), то получили бы
систему, включающую как нелинейные эффекты относительного порядка a/h0
(где а - характерная амплитуда), так и дисперсионные эффекты
относительного порядка h2JP. Это легко сделать, причем существуют
различные формы, которые в желаемом приближении эквивалентны. Если мы
предпочтем добавить член vhxxx во второе из уравнений (13.79), то
линеаризованные уравнения дадут
¦nt+M*=o,
ut "Ь ЯП* + VT1*** =
Гл. 13. Волны на воде
444
и, исключая и, получаем
ПН - ф]** - ^оПхххх = 0.
Следовательно, выбор v = 1/s c\h0 согласуется с (13.90). Таким образом,
утверждение заключается в том, что система
ht -j- (иЛ)х = 0, ut + uux + ghx + jclh0hxxx = 0, (13.91)
как и требуется, сводится к (13.90) в пределе при a/h0 -у 0 и к (13.79) в
пределе при h2ll2 -> 0 и, следовательно, объединяет поправки первого
порядка к (13.74) как по a/h0l так и по ЩГР.
В поправочный член всегда можно подставить низшее приближение (13.74).
Поэтому эквивалентная в рассматриваемом порядке система имеет вид
1ц + (uh)x - 0,
Щ "Ь UUx "Т ё^Х "Н "g" hjlxtt -0. ^ ^
Такую систему избрал Буссинеск, впервые получивший эти уравнения.
Линеаризованный вариант системы (13.92) приводит к уравнению
Vtt - cfaxx-| K^xxtt = 0 и дисперсионному соотношению
"2=T+fW- (13-93)
Первые два члена разложения этого дисперсионного соотношения по малым
(х/г,,)2 согласуются с (13.89), и, следовательно, две рассматриваемые
системы эквивалентны в этом приближении. Однако, если уравнения
использовать в случае, когда h2Jl2 не мало, то система (13.92)
предпочтительнее системы (13.91). Согласно (13.89), малые возмущения с
(x/i0)2 > 3 действительно будут усиливаться, поскольку о становится
мнимой, тогда как (13.93) сохраняет вещественную частоту со, хотя в
рассматриваемой области эти рассуждения и некорректны. При численных
расчетах различные эффекты перехода к конечным разностям и округления
вводят
малые осцилляции малой длины волны даже в том случае, когда
решаемая аналитическая задача удовлетворяет условию h2ll2 1,
и поэтому система (13.92) предпочтительнее.
Уравнения Буссинеска включают волны, деижущиеся как влево, так и вправо.
Повторяя те же рассуждения и ограничиваясь только волнами, движущимися
вправо, получим уравнение Кортевега - де Фриза. Для волн, движущихся
вправо, первые два
13.11. Уравнения Кортевега - де Фриза и Буссинеска 445
члена дисперсионного соотношения дают
оз = с0х-ух3, 7= y соК, (13.94)
и соответствуют уравнению
'nt + c0,nx + rw = 0. (13.95)
Для нелинейных уравнений мелкой воды (13.79) волны, движущиеся вправо в
невозмущенную воду глубины h0, имеют инвариант Римана
