Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Будем искать решение, подправленное членами первого порядка по а и р, в
виде
w = г) + а А + р В + О (а2 + р2),
где А ж В - функции от ц и ее производных по х. Тогда уравнения (13.101)
принимают вид
Щ + % + "(Ах + 2трк) + Р - ~ 11***) + О (a2 -f р2) = 0,
% + Ч* + "И*+1П*) + Р (Bt - Y^xxt) +0(а2 + Р2) = 0.
Поскольку rjf = -г|* О (а, Р), все производные по t в членах первого
порядка можно заменить производными по а; с противоположным знаком. Тогда
эти два уравнения совместны, если
А=-±vf, В = - ц**.
Отсюда имеем
^ = Ц - ац2+Рц** + С> (а2 +Р2),
3 4 (13.102)
Цt + ti*+ y aT]ri* + Рц***+О (а2+Р2) = 0.
Второе уравнение является нормированной формой уравнения Кортевега - де
Фриза (13.99). Первое аналогично инварианту Римана.
13.12. Уединенные и кноидальные волны
449
13.12. Уединенные и кноидальные волны
Уравнение Кортевега - де Фриза было выведено в 1895 г. Еще до этого Стокс
[1] в 1847 г. нашел приближенные выражения для нелинейных периодических
волн в случае бесконечно глубокой воды или воды умеренной глубины, а
Буссинеск [1] в 1871 г. и Рэлей [2] в 1876 г. нашли приближенные
выражения для уединенной волны, т. е. волны, состоящей из одиночного
возвышения и распространяющейся без изменения формы и скорости. Такую
волну впервые наблюдал экспериментально Скотт Рассел [1] в 1844 г.
Уединенную волну проще всего получить как частное решение уравнения,
найденного Кортевегом и де Фризом; эти же авторы доказали возможность
существования периодических решений. Хотя приближение Стокса не
применимо, когда Р сравнимо с а, решения Стокса переходят в решения
Кортевега и де Фриза при а Р- Мы рассмотрим сначала решения уравнения
Кортевега и де Фриза, поскольку они проще (хотя и были найдены гораздо
позже).
Как уединенные, так и периодические волны (все они описываются уравнением
(13.99)) были найдены как решения с постоянной формой, движущиеся с
постоянной скоростью. Поэтому их можно представить в виде
т] = /г0? (X), X = х - Ut.
Тогда, согласно (13.99), имеем
4чг+!к'-(?-1)г=о.
Интегрируя, получаем
4Ч?-+|р-(^~1)Е+е=о.
После умножения на ?' еще одно интегрирование дает
4^'2 + ?3-2(|J-l)?2 + 4G? + tf = 0, (13.103)
где G и Н - постоянные интегрирования.
В частном случае, когда С и ее производные Стремятся к нулю на оо, мы
имеем G - Н = 0. Тогда последнее уравнение можно
записать так:
и . , " <13.104)
Гл. 13. Волны на воде
45а
Качественно ясно, что ? возрастает от ? = 0 при X - оо, достигает
некоторого максимума ? = а и затем симметричным образом возвращается к
значению ? = 0 при X = - с" (см. рис. 13.4).
Это уединенная волна. Максимум функции ц равен т]0 = hQa,. так что а
играет ту же роль, что и в предыдущем параграфе. Скорость уединенной
волны зависит от амплитуды:
<13Л05>
Точное решение уравнения (13.104) имеет вид
Maseeh* {(||)1/2x};j (13.106)
отсюда^
ц = г*, sech2 { (|j|-)'12 (х-Ut)} . (13.107)
Это решение уравнения Кортевега - де Фриза пригодно для
любых Т1о/^0; однако само это уравнение выведено в предположе-
нии r\0/h0 <С 1 и фактически оказалось, что для уединенных волн отношение
r\0/h0 ограничено сверху; экспериментальное максимальное значение v\Jh0 "
0,7, а теоретическое r\0/h0 ж 0,78. Реальный предельный профиль волны
имеет на гребне угловую* точку.
В общем случае G,H Ф О,
?'2 = "(?),
где Чё (?) - кубический полином с простыми нулями. Для ограниченных
решений нули должны быть вещественными, и ограниченные решения должны
периодически осциллировать между двумя нулями полинома 7?. Не теряя
общности, полошим эти два нуля равными ? = 0 (что фиксирует h0) и ? = а
(что равно удвоенной амплитуде). Тогда третий нуль должен быть
отрицательным; если положить его равным а - р, то окажется, что р = hyi2,
где I - характерная горизонтальная длина, а параметры аир
13.12. Уединенные и кноидальные волны
451
играют те же роли, что и в предыдущем параграфе. Приставом выборе
уравнение для ? (X) принимает следующий вид:
т^(4)2=^(а~С)(С"а+Р)' °<а<Р- (13-108)
= l + (13.109)
Длина волны составляет
==JL===, (13.1Ю)
1^3 J Vc(a-0(t-a+p)
В этой нелинейной задаче U - фазовая скорость, поскольку любая точка
профиля движется с этой скоростью. Решение можно записать в виде
? (X) = / (0) = / (их - со*), где / имеет период 2л по 0. Тогда
<в = 17и = (l + -~Р-) и (13.111)
и
Согласно (13.110), р является функцией от К и а. Поэтому и дио персионное
соотношение (13.111) принимает вид
со = со (х, а). (13.112)
Здесь мы впервые сталкиваемся с самым важным свойством нелинейных
диспергирующих волн: в дисперсионное соотношение, связывающее частоту со
и волновое число и, входит амплитуда.
Для волн с бесконечно малой амплитудой (а -> 0) соотношения (13.108) и
(13.109) сводятся к следующим:
и , Р
1 - -
с0 2
Решением является
Гл. 13. Волны на воде
452
Введем x = ]/r3p//i0; тогда
? = -Т+-Т cos (кх-(r)t),
. ! v (13.113)
со = yXJ = с"и (1 -qk2K) •
что согласуется с линейной теорией (см. (13.94) и (13.95)). В этом
пределе амплитуда выпадает из дисперсионного соотношения.
