Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
u--=2Yg(h0 + r\) - 2]/~ gh0, (13.96)
подстановка которого в любое из уравнений (13.79) дает
r]t "Ь {3 Yg {К + т]) - 2 Уgh0} т]ж = 0. (13.97)
Объединяя уравнения (13.95) и (13.97), имеем
¦ф + {3 Vg {К +11) - 2 Vgho} 11*-f УПххх -= 0. (13.98)
Если нелинейные члены аппроксимировать с точностью до членов второго
порядка по a/h0, то получим
% + c0(l + -|-^-) ilx + TW = 0. (13.99)
Это уравнение Кортевега - де Фриза. Нет оснований полагать, что
предпочтительнее сохранять уравнение (13.98), поскольку другие члены,
например пропорциональные произведению a/h0 на hg/l2, могут оказаться
важными в той же степени, что и нелинейные члены порядка а?!Щ. Опять в
дисперсионном поправочном члене можно положить гр ~ -с0т]ж и взять
%+c0(l + f1J)%-jTW==0.
Тогда линеаризованному уравнению соответствует дисперсионное соотношение
1 -f Y'/2/co '
При малых ус это согласуется с (13.94) и в отличие от (13.94) имеет
ограниченные фазовую и групповую скорости, если и становится большим.
Поскольку со остается вещественной в обоих случаях, потребность в
модификации менее настоятельна, чем в случае уравнения Буссинеска, но тем
не менее желательна по тем же причинам (Бенджамен и др. [1]). Однако для
уравнения (13.99) было найдено много восхитительных точных аналитических
решений, и в общем случае его можно свести к линейному интегральному
уравнению; в настоящее время эти его свойства доминируют над всеми
остальными.
Гл. 13. Волны на воде
446
Предыдущие выводы обладают большой гибкостью, и такой подход естественным
образом допускает различные альтернативы, рассмотренные нами. Становится
также ясным, что данные уравнения применимы ко многим задачам о
диспергирующих волнах, совершенно не связанных с волнами на воде. Любое
дисперсионное соотношение с нечетной функцией со (и) с точностью до двух
первых членов можно представить в виде (13.89) или (13.94), а тогда
уравнения (13.90) и (13.95) будут описывать линеаризованную теорию. После
этого остается лишь обсудить вид нелинейных членов, и члены в (13.91) или
(13.99) довольно типичны. Например, именно так получаются эти уравнения в
физике плазмы.
Формальное разложение но малому параметру имеет свои преимущества и
позволяет надеяться найти оценки остаточных членов. Если расстояние от
горизонтального дна временно обозначить через Y, то будет нужно решить
уравнение Лапласа
Фхж + Фуг = 0
с Фу = 0 при Y = 0. Теория мелкой воды с производной фж, приближенно не
зависящей от Y, и малой полной глубиной предлагает разложение
<P = %Ynfn(x, t). о
Подставив это разложение в уравнение Лапласа и в граничное условие при Y
= 0, получим, что
о
где / = /". Последний шаг состоит в подстановке этого разложения в
граничные условия на свободной поверхности. Поскольку они нелинейны и
применяются при Y = h0 ц, дальнейшие выкладки оказываются довольно
запутанными, и в разложениях члены следует упорядочивать но двум
параметрам: а = alh0 и Р = = hyi2. Лучше всего нормировать переменные с
самого начала, считая исходные переменные равными
x' = lx, Y' = h0Y, *'= -,
с0
Различные растяжения но У и ж являются решающим шагом. В нормированных
переменных задача формулируется следующим
13.11. Уравнения Кортевега - де Фриза и Буссинеска
44/
образом:
Рфжж + Фгг = 0, 0 < У < 1 + ат),
Фу = 0, У = 0,
•Ht + афжт)ж - j фу = 0,
I I 1 2 I 1 О- 2 А
¦п + Ф< + у "ф! + YJ- Фг = о
Ряд для функции ф теперь является разложением по степеням р, но из
уравнения Лапласа и условия фу = 0 при У = 0 снова следует, что
ф_у (_1Г.у2т. д2п1 Р,т Zl V Ч (2т)! 5ж2т Р •
0
Подставляя это выражение в условия на свободной поверхности, находим
¦Пг + {(1 + а,П) /*Ь - { -jf (1 + arl)3 fxxxx + у " (1 + ац)2 г) Jxxx } Р
+
+ О(р2)=0,
'4 + ft + Yaf*-j(i+ arl)2 {fxxt + afxfxxx-afxx} P+о (P2) = 0.
Если опустить все члены с р и продифференцировать второе уравнение но х,
то получатся нелинейные уравнения мелкой воды
'П/ + {(1+",П)",}ж = 0,
Wt + awwx + г)ж = 0, w = fx.
Если сохранить члены первой степени но Р, но для упрощения опустить члены
порядка О (оф), то получим
4t + {(1 + 0^1) w}x--i Рwxxx + О (ар, Р2) = 0,
i (13.101)
wt + аwwx + f]x - j рwxxt + О (ар, р2) = 0, w = /ж.
Это вариант уравнений Буссинеска. Величина w является первым членом
разложения скорости фж, имеющего вид
Фж -w-fi-j-Wxx + Оф2).
Усреднение но глубине дает
u = w-^f>wxx + 0(a$, Р2),
Гл. 13. Волны на воде
448
или, что то же самое,
w^u + ^$uxx + 0(c$, Р2).
Подставив эти выражения в уравнения (13.101), получим
¦Ht + {(1 + ail) и}х + О (оф, р2) = 0, щ + аиих + г|ж-рuxxt + О (сф, Р2)
= 0.
Наконец, подставив справедливое в низшем порядке выражение их = -т]4 + О
(а, Р) из первого уравнения в член с uxxt, придем к уравнениям Буссинеска
(13.92) в нормированной форме.
Уравнение Кортевега - де Фриза выводится из любой из этих систем
рассмотрением только волн, движущихся вправо. В низшем приближении (без
учета членов первого порядка по а и Р) такое решение системы (13.101)
дает
W = ц, тц + Цж = 0.
