Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
При исследовании интеграла (13.59) мы рассмотрим частный случай / (жД =
Р8 (жД, F (хД = Р/(2я), к которому в некотором смысле сводится и общий
случай. При этом
. .. Реы Г хегиЛ dxi
^ ) 2я J (х4г/-ie)2-gK
Поскольку в интеграл входит х = | щ |, этот интеграл удобно разбить на
два: для щ > 0 и для хх < 0, и в каждом из них исполь-
13.9. Волны на поверхности стационарного потока 433
зовать х в качестве переменной интегрирования. Тогда
00 JKX,
2пг\
Р
= eei С I ^ Г
J (y.U - it:)2 - gy. J (y.U -}-u:)z-gK
0 0
Поскольку в окончательном ответе е -> 0, членом с е2 в знаменателях можно
пренебречь, а множитель eet, который теперь уже сыграл свою роль, можно
опустить. Имеем
2пг] д. (С elHxi dy. . f e~,Kxi dr. \ /лоот P J vu*-2iaj-g+)
xU2-f2ieU~~g ) ' (13'6°)
0 0
Полюсы подынтегральных выражений находятся в точках
g . 2 ie g 2 ie
?/2 + ?/¦ ' (J2 и
соответственно. Контуры интегрирования можно повернуть так, чтобы они
совпали либо с положительной, либо с отрицательной мнимой полуосью. Для
хг > 0 контур интегрирования в первом слагаемом можно совместить с
положительной мнимой полуосью, а контур интегрирования во втором - с
отрицательной мнимой полуосью; оба полюса дают вклад. Имеем
F , iemxl , J_ F _ie ihxl =
P 2n J im - к 2n J im-j-fc
0 0
= - 2 sin kxi + j " e~mx' dm' (r)i>0. (13.61)
где
(13.62)
Для ж* <; 0 контуры интегрирования можно повернуть в противоположных
направлениях, и полюсы не дают вклада:
*'<0- <13'63"
о
Соотношение (13.62), которое можно записать также в виде
v-V т = '(*)•
определяет волновое число к для тех волн, которые могут находиться в
стационарном состоянии в набегающем потоке. Поскольку sin кхг
удовлетворяет условиям задачи о стационарной свободной
Гл. 13. Волны на воде
434
поверхности для всех хг, условие излучения является решающим при
доказательстве того, что такие стоячие волны появляются только вниз по
течению (хг > 0) от приложенного возмущения давления. Интегралы (13.61) и
(13.63) необходимы в полном решении, но становятся малыми при \хг \ 1.
Асимптотические пред-
ставления этих интегралов получаются формальным разложением выражения
(те2 -f- &2)-1 по возрастающим степеням те2 и почленным интегрированием
полученного ряда. Эта процедура дает
7 те-(tm)!*!1 1 3! ¦ 5!
J т2+ /с2 т k2xf к^х\ "Т" кРх\
0
Окончательный вывод состоит в том, что стоячие волны вдали от источника
возникают только вниз по течению, причем они имеют вид
г) = -^-sinkxi, к = (13.64)
Одномерные волны с учетом поверхностного натяжения
Когда учитывается поверхностное натяжение, выражение
(13.60) переходит в следующее:
2ят] .. (С егкх1 dx .
~Р~ el(tm) I J xU*-2ieU-g-(Tlp)x?^~ о
+ j y.U2-\-2ieU-g - (7'/р) х2 } • (13.65)
о
Полюсы близки к корням уравнения
fct/^g + Z-fc2; (13.66)
это опять совпадает с условием
U = с (к),
использованным в (12.20) при определении того, какие волны не сносятся
течением.
При U < ст, где ст - минимальная волновая скорость, уравнение (13.66) не
имеет вещественных корней. Следовательно, в интегралах (13.65) нет
полюсов, близких к вещественной оси, все вклады подынтегральных выражений
быстро убывают с ростом хх, и стоячие волны отсутствуют. Это согласуется
с выводом, полученным в § 12.3.
При U > ст уравнение (13.66) имеет два вещественных корня и они совпадают
с величинами kg и кТ, введенными в формулах
13.9. Волны на поверхности стационарного потока
435
(12.21) - (12.22), причем кт > kg. В этом случае интегралы в (13.65)
имеют полюсы, близкие к kg и кт. Они расположены в точках
К __ ь 2Р^ jo х - к 2-V-
к -Kg-j- . х~кт
(kT-kg)T ' т (kT~kg)T
для первого интеграла и в сопряженных точках для второго интеграла. При
хг > 0 первый интеграл можно вычислить вдоль положительной мнимой
полуоси, причем вклад дает только гравитационный полюс около kg. Второй
интеграл вычисляется вдоль отрицательной мнимой полуоси, причем вклад
дает другой гравитационный полюс. Таким образом, вниз по течению от
источника появляются гравитационные волны. Аналогичным образом при Ху < 0
повороты следует делать в противоположных направлениях и вклад дают
капиллярные полюсы.
Эти выводы согласуются с полученными при помощи понятия групповой
скорости результатами (12.21) - (12.22): гравита-
ционные волны вниз по течению и капиллярные волны вверх; по течению.
Асимптотика волновых пакетов такова:
-^7 *i>0'
(J^Pkg) T Ху CO.
Корабельные волны
Для двумерной задачи о гравитационных волнах, создаваемых точечным
источником / {ху, х2) = Р6 (х1г х2), в интеграле (13.56) следует положить
F (х) = Р1(4п2) и о>1 = gx. Тогда (13.56) дает
4л2и2г] eet f С v- ехР ^ "Ь X2Z2)} dxy dx2
Г]
Г f к ехр {i (ЩЩ + х2х2)} dxy dx2 ,*о
J J (Щ-ie/U)2 - gx/Uz ' '
где x = (я2 + х*)1'2- Удобно ввести полярные координаты Ху - г cos ?, х2
= г sin |,
Ху = -х cos %, х2 = х sin %.
Вклад от области л/2 < % < Зл/2 комплексно сопряжен с вкладом от области
-л/2 < % < л/2 и в пределе при е ->• 0 (13.67) принимает вид
Л/2 оо
^pL_ = Re(lim j _g_ f кехр{-г^сов_(|+у,)) ^ (13 gg)
