Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
точке нормаль может принимать любое значение, лежащее на конусе
направлений в данной точке. Если луч света падает на кристалл нормально в
этом направлении, образуется конус преломленных лучей.
Дальнейшие детали становятся сложными и требуют длительного исследования.
Эти (и многие другие) сведения можно найти в превосходных монографиях
Зоммерфельда ([1], гл. 4) и Ландау и Лифншца ([4], гл. 11V
Глава 13
ВОЛНЫ НА ВОДЕ
Многие общие методы теории диспергирующих волн были разработаны при
изучении волн на воде. Это увлекательный предмет, поскольку физическая
сторона широко известна, а математические задачи разнообразны 1). Мы
обратимся теперь непосредственно к зтой теме. Сначала мы докажем
результаты, на которые мы ссылались выше, уточним отдельные детали и
рассмотрим ряд задач, характерных для данного предмета. Затем перейдем к
нелинейной теории, которая впервые позволила понять, как нелинейность
влияет на диспергирующие волны, что со временем привело к общей точке
зрения на такие вопросы. И здесь она будет служить той же цели, мотивируя
общие рассуждения и изучение аналогичных явлений в различных контекстах.
13.1. Уравнения для волн на воде
Рассмотрим невязкую несжимаемую жидкость (воду) в однородном поле
тяжести. Пространственные координаты обозначим через (жх, х2, у), а
соответствующие компоненты вектора скорости и через (мх, и2, v).
Ускорение свободного падения g направлено по отрицательной полуоси у.
Уравнения движения невязкой жидкости были приведены в гл. 6 (см.
уравнения (6.49)). Теперь предположим дополнительно, что плотность р
остается постоянной и что поле внешних сил имеет вид F = -pgj, где j -
единичный вектор, направленный вдоль оси у. Тогда уравнения примут
следующий вид:
уи = 0, (13.1)
^ = -Sr+<"-V)"=-!v*-d. (13.2)
В большинстве задач теории волн на воде течение можно считать
безвихревым, так что rot u = 0 и можно ввести потенциал скорости ф,
определяемый равенством u = Vq>- Для доказательства
х) Читатель, интересующийся математической стороной дела, может
обратиться, например, к следующим книгам: Теория поверхностных волн,
сборник, М., ИЛ, 1959; Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Проблемы
гидродинамики и их математические модели, М., "Наука", 1973; Налимов В.
И., Пухначев В. В., Неустановившиеся движения идеальной жидкости со
свободной границей, Новосибирск, Изд-во НГУ, 1975.- Прим. ред.
Гл. 13. Волны на воде
416
можно, как обычно, воспользоваться уравнением для вихря со = = rot и.
Сначала уравнение (13.2) записывается в виде
^T+V (-у1*2) +*> X u= - yVp - gj. (13.3)
Для того чтобы исключить давление, применим к этому уравнению оператор
rot и получим уравнение Гельмгольца
-^-+VX(coxu) = 0. (13.4)
Поскольку v -U = 0, последнее уравнение можно переписать так:
^=^+КУ)со=(со.у)и. <13-5)
Далее, со = 0 - допустимое решение и это решение единственно, например,
при условии, что все компоненты Vu ограничены. Следовательно, если со = 0
первоначально, то это [справедливо и для всех последующих моментов
времени. В теории волн на воде типичные задачи связаны с распространением
волн на покоящейся воде или в однородном потоке. В обоих случаях в
исходном состоянии о = 0 и приведенные выше рассуждения применимы. Мы
ограничимся исследованием безвихревых течений.
Когда и -= Уф, уравнение (13.3) интегрируется, и мы находим
-e^ = B(t)i-Tt_i-(VT)2-gy, (13.6)
где В (t) - произвольная функция, а р0 - произвольная постоянная,
выделенная из В (t) для удобства учета условия на свободной поверхности.
Ясно, что В (t) можно включить в ф, выбрав новый
потенциал ф' = ф - j В (t) dt. Обычно мы предполагаем, что
это сделано, и получаем
и = Уф,
(13.7)
РроР° = - Фг -2 ^Уф^2 - gy'
Согласно (13.1), потенциал ср удовлетворяет уравнению Лапласа У2Ф = 0.
(13.8)
После того как найдено решение уравнения (13.8) с соответствующими
граничными условиями, представляющие интерес физические величиныи, р
определяется равенствами (13.7). Это выглядит довольно просто и кажется
мало относящимся к волнам, поскольку фигурирует уравнение Лапласа.
Такое впечатление
ошибочно, потому что условия на свободной поверхности обла-
дают удивительными свойствами.
13.1. Уравнения для волн на воде
417
Рассмотрим случай, когда над поверхностью воды находится воздух (хотя,
очевидно, можно было бы рассматривать две любые жидкости). Поверхность
раздела, описываемая уравнением
/ К. У" 0 = 0. (13.9)
определяется условием, что частицы жидкости не пересекают ее. Поэтому
компонента скорости жидкости, нормальная к поверхности раздела, должна
совпадать с нормальной компонентой скорости самой поверхности раздела.
Нормальная компонента скорости поверхности, определяемой уравнением
(13.9), равна
-ft
V 4+Я.+Я '
Нормальная компонента скорости жидкости составляет UlfXl + Urfx2 + Vfv
V fh+fb+fv
Условие равенства этих компонент дает
"gj" ulfxi + uifx2 + vfy = 0- (13.10)
Оно показывает, что частицы, находящиеся на поверхности, остаются на ней,
и часто вводится непосредственно на этих основаниях. Однако прямое
