Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(4+4)1/2 (q+61)1/2 *
(12.52)
При U = 0 это дает
*з _
(4+4)i/2 - ±
1) Основополагающей здесь является работа С. JI. Соболева "Об одной новой
задаче математической физики", Изе. АН СССР, сер. матем., 18, № 1
(1954), 3-50.- Прим. ред.
Гл. 12. Картины волн
404
чтобы впереди по течению могли возникнуть волны, необходимо выполнение
неравенства С3 < 0, или - что то же самое - неравенства
2Q(ftj+ftj) Tj к? '
Наиболее благоприятный случай получается при к3 = 0, что соответствует
поверхности столба Тейлора. Чтобы волны распространялись вверх по
течению, они должны иметь 2Q/k > U, или, эквивалентно, к > Un/Q. Следует
ожидать, что главными являются волны с к = О (я), где а - радиус сферы.
Действительно, Тейлор обнаружил столб при Qa/(nU) > 1, и это в точности
согласуется с выбором к = а. Дальнейшие исследования (как
экспериментальные, так и теоретические) показывают, что резкого перехода
нет, а существует переходная область, и сформулированный выше результат
следует рассматривать как первое приближение, когда столб Тейлора выражен
достаточно отчетливо.
12.7. Волны в стратифицированной жидкости
Гравитационные волны в жидкости со стратифицированной плотностью
представляют большой интерес в метеорологии и океанографии. Градиент
плотности может возникать за счет перепада температур, изменения
содержапия соли или других факторов, но часто желательно исключить
сжимаемость и звуковые волны в последующем движении. Для этого уравнение
неразрывности расщепляется на две части:
Ж = °- V"-0'
и обе сохраняются! Плотность не постоянна, но считается неизменной вдоль
траектории частицы в волновом движении. К этим уравнениям добавляются
уравнения сохранения импульса
Du
Р цГ= -vr-pg.
Двойное использование уравнения неразрывности делает ненужным уравнение
сохранения энергии, так что мы имеем полпую систему. Результаты и
приближения можно сопоставить с более полными описаниями; основное
требование состоит в том, что скорость звука должна намного превышать
волновые скорости, которые получаются в данной теории.
Для двумерного течения в (.г, ^-плоскости со стратификацией в направлении
оси у положим невозмущенные параметры рав-
12.7. Волны в стратифицированной жидкости
405
ными и = v = 0, р = р0 (у), р = Ро (.у), причем
^ + Pog = 0, (12.54)
и проведем линеаризацию для малых возмущений этого состояния. Обозначим
возмущения параметров р и р через рх и рг соответственно; тогда
линеаризованные уравнения примут вид
Pit + i-Po = 0. ux + vv = 0,
Pout + Pix = 0, РоО + Puj + ?Pi = 0.
Введя функцию тока Ч/, определяемую равенствами и = Wy, v = = -Ч/я, эту
систему можно заменить уравнением
Ро^.гЦ + (Ро^)г/4 - №0^= 0. (12.55)
При изучении волнового движения удобно иметь уравнение с производными
только четных порядков, и этого можно достичь подстановкой Ч/ = р~1/2%:
%XXtt + %yytt + (-Щ ) 7.П -^ %ХХ = 0. (12.56)
Частный случай экспоненциального распределения р оо е ау привлекателен
постоянными коэффициентами, и его можно достаточно хорошо сращивать с
другими распределениями. Для этого случая дисперсионное соотношение имеет
вид
tf(k* +к*2+± a?}-agk2 = Q. (12.57)
Во многих ситуациях представляющие интерес длины волн расположены в
области к а и соотношение (12.57) аппроксимируется равенствами
""-Tift-- %*=<*= (12.58)
Частота со0 называется частотой Вейсала - Бранта, она постоянна
для экспоненциального распределения и зависит от у в более
общем случае.
Заметим, что волны возможны только при со < со0 и ситуация в чем-то
аналогична случаю вращающейся жидкости. Для источника с фиксированной
частотой со < со0 одно из решений уравнения (12.58) имеет вид
кг = к совф, к2 = -к sinij), (12.59)
где
ф = arc cos (ш/со0) (12.60)
Для любой величины к', следовательно, все волны образуют с осью х
фиксированный угол ф. Соответствующая ^групповая ско-
12.7. Волны в стратифицированной жидкости
407
рость имеет компоненты
C1 = i||L, с2= - ¦?****" ¦. (12.61)
Поскольку к -С =0, фазовая и групповая скорости ортогональны. Поэтому
групповая скорость направлена под углом ? = я/2 - ф к оси х. Направление
групповой скорости указывает, где следует искать волны. В силу (12.60),
это направление одно и то же для всех волн и составляет угол
?=4т-- ф = arc sin- (12.62)
0)0
с осью х. С учетом всех возможных знаков компонент кг и к2 получается
крестообразная картина возмущений. Линии гребней также лежат на кресте,
но локально движутся по нормали к его образующим, постепенно затухая по
мере удаления, причем их место занимают новые линии гребней. (Само собой
разумеется, что каждая образующая креста практически имеет конечную
толщину вследствие конечных размеров источника.)
Превосходные фотографии, полученные Моубреем и Рерити [1], воспроизведены
на рис. 12.9. Источником служит цилиндр, нормальный к плоскости
фотографии и осциллирующий в горизонтальном направлении (вертикальный
стержень является зондом). Источник вводит также слабую, но различимую
вторую гармонику с частотой 2со. Это дает линии под углом arc sin
