Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
394
где ф - угол между нормалью (направлением вектора к) и линией движения
QP. Это условие легче всего понять, перейдя в систему .отсчета, в которой
поток со скоростью U обтекает неподвижный
Рис. 12.2. Построение элементов волны в задаче о корабельных волнах.
корабль. В этой движущейся системе отсчета нормальная к элементу волны
компонента U cos ф скорости потока должна компенсироваться фазовой
скоростью рассматриваемого элемента. Указанное условие позволяет
определить величину к в направлении ф.
Геометрически (см. рис. 12.2) это можно изобразить, построив
полуокружность диаметром PQ и заметив, что PQ = Ut, SQ - = C/ifcosT|3 =
cf. Следовательно, для элементов волны, параллельных хорде PS, будем
иметь ct = QS. Далее, с - фазовая
Рис. 12.3. Огибающая возмущений, возникающих в последовательные моменты
времени.
¦скорость, соответствующая условию (12.23), но расположение
рассматриваемых волн определяет именно групповая скорость С = *72 с.
Волны, образующиеся в точке Q, должны пройти расстояние Ct = х/2 ct.
Следовательно, в направлении ф они будут обнаружены в точке Т - средней
точке отрезка QS. Рассмотрев все значения ф, получим, что волны,
возникающие в точке Q и дающие вклад в стационарную картину, лежат на
окружности радиуса */4 Ut с центром в точке R, причем PR = s/4 Ut.
Наконец, фиксируя точку Р и меняя t, мы получаем набор окружно-
12.4. Корабельные волны
395
стей, изображенный на рис. 12.3. В силу построения, проведенного на рис.
12.2, каждая окружность имеет радиус, равный одной трети расстояния от ее
центра до точки Р. Следовательно, эти окружности заполняют клинообразную
область с углом полураствора arc sin V3 = 19,5°. Любопытно, что
построение на рис. 12.3 соответствует сверхзвуковому обтеканию с числом
Маха, равным 3; все плавающие объекты имеют эффективное число Маха,
равное 3.
Дальнейшее исследование картины волн
Более детальное рассмотрение картины волн удобно провести в системе
отсчета, в которой источник находится в неподвижной точке Р, а скорость U
однородного потока направлена вдоль оси хх (см. рис. 12.4 на стр. 397).
При этом возникает ряд общих вопросов описания стационарных волновых
процессов, которые оказываются полезными и в иных контекстах.
Дисперсионные соотношения из § 12.1 применимы к волнам,
распространяющимся по неподвижной воде, но можно перейти в систему
отсчета, движущуюся с относительной скоростью -U , заметив, что частота
со относительно движущейся системы следующим образом выражается через
частоту со0 относительно неподвижной системы-
co = U-k-)-coo(k). (12.24)
Это дисперсионное соотношение между со и к для волн, накладывающихся на
поток со скоростью U. Конечно, распространение больше не изотропно,
поскольку в соотношение входит вектор U. В такой системе отсчета для
стационарной картины волн со = О и выражение (12.24) становится
соотношением между компонентами кЛ и /с2 волнового вектора к. Для со0 (к)
= gk имеем
G(K ^)==^1 + VA#=0. (12.25)
Поскольку cos ф = -kjlc и с (k) = YS^k, это согласуется с (12.23).
Представив вектор к в полярных координатах (к, ф), равенство
(12.25) можно переписать в виде
(к, ф) = Uk cos ф-^gk = 0. (12.26)
Так как частота со равна нулю и к не зависит от t, кинематические
соотношения (11.43) сводятся к условию совместности
d^-2 dfcj __" пп\
дхх дх% I '
Согласно (12.25), кх = / (к2) и уравнение (12.27) дает
Гл. 12. Картины волн
396
Поэтому компоненты кх и к2 постоянны на характеристиках
Для точечного источника Р характеристики, несущие возмущения, проходят
через точку Р, так что имеем центрированную волну
iJ =-/'(**)• (12.28)
Это равенство определяет к2 как функцию от х2/хх, и соотношение к-\ = i
(к2) завершает нахождение вектора к.
Основное соотношение (12.28) можно записать в симметричном относительно
кх и /,\2 виде. Если кх = / (к,,) тождественно удовлетворяет соотношению
(12.25), то
/' (к2) Gkl + G],2 = О
и (12.28) можно переписать в виде
<12-29>
Решая эти уравнения, находим кх и /с2 как функции от х. Зная вид функции
к, уже можно нарисовать картину волн, но можно найти также и фазу 0 (хх,
х2) и получить линии гребней.
Полезно отметить, что соотношения (12.29) получаются из выражения для
нестационарной центрированной волны в пределе при со -0. Для
центрированной волны, согласно (11.49), имеем
?1 = Сг=--^, G (к, со) = U.
Взяв отношение первых двух уравнений системы, исключим t и GM и, перейдя
к пределу при со 0, получим соотношения (12.29). Можно считать, что
возмущение распространяется с групповой скоростью Cj, хотя это не
приводит к изменениям картины волн. Данное соображение позволяет
продолжать использовать понятие групповой скорости, хотя в формулах
фигурирует только ее направление дС1дкь.
Далее заметим, что иногда удобно пользоваться полярными
координатами, как это сделано в равенстве (12.26). В полярных
координатах градиент dG/dк имеет компоненту д&1дк в направлении к и
компоненту d&lkdty, ортогональную к. Отсюда для угла и, на рис. 12.4
