Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
характеристики от прямолинейной зависит от
Ч (т) Г1/2
t-r/c0
(9.15)
а это отношение велико как при больших г, так и вблизи t - г/с0 = = 0.
Таким образом, нелинейные поправки будут одинаково важными и вблизи
волнового фронта t - г/с0 = 0 на всех расстояниях. Существенно, что
выражение (9.12) справедливо при (с0 t - r)/r 1, так что оно охватывает
оба случая. Соответствующая нелинейная модификация решения, определяемая
равенствами (9.13) и (9.14), также применима вблизи фронта волны для всех
г. Это имеет решающее значение, поскольку в наиболее интересных задачах
на переднем фронте имеется ударная волна и нелинейную модификацию
решения, выведенную из (9.13), можно использовать для ее изучения в
целом.
Можно построить нелинейную модификацию полного решения, положив
Ф= -4- f (9-16)
2я J 1 / (т-ч') (%-т]-1-2г/Ы
и определить отсюда нелинейную характеристическую переменную т. В этой
более полной форме характеристическое уравнение, соответствующее (9.14),
становится чрезвычайно сложным, однако дополнительные члены остаются
малыми по сравнению
9.1. Метод введения нелинейности
307
с / (т)г1/2. Следовательно, для получения нелинейной модификации решения
во всей области достаточно взять комбинацию выражений (9.16) и (9.14). Во
всяком случае, нелинейная модификация играет первостепенную роль в
области с0т/г 1, где (9.16) можно аппроксимировать выражением (9.13), в
котором
Следует отметить, однако, что надлежащие граничные условия обычно
задаются вне области с0т/г 1, так что либо (9.16), либо полное линейное
решение, к которому оно сводится, необходимо для определения функции /
(т), фигурирующей в равенствах
Решающая роль геометрической оптики теперь становится очевидной,
поскольку (9.12) представляет собой приближение геометрической оптики для
цилиндрических волн. В общем случае геометрическая оптика дает геометрию
лучей и (для однородной среды) мы имеем
вдоль каждого луча, где s - расстояние по лучу, Ф (s) - амплитуда, / (t -
s/c0) описывает профиль волны. Это естественная форма нелинейной
модификации и она применима как раз там, где нелинейные эффекты наиболее
важны - вблизи фронта волны и на больших расстояниях. Для нелинейной
модификации следует положить
Объединив результаты для всех лучей, получим нелинейную модификацию
полного решения. Следует отметить, что с (ф) означает здесь скорость
вдоль луча, что не совпадает с нормальной скоро,-стью волнового фронта
для анизотропной среды. Для неоднородной среды с и с0 могут также
зависеть от s. В этом случае s/c0 за-
меняется на \ ds/c0, и если величина cjc\ зависит от s, то в фор-
муле (9.18) ее следует внести под знак интеграла.
Теперь уместно сравнить данный метод с методом, развитым в предыдущей
главе. Грубо говоря, для тех задач / (т) была функцией типа ступеньки,
так что нелинейное взаимодействие было умеренным и можно было учесть
сильные нелинейные эффекты, изменяющие геометрию лучей. Здесь геометрия
лучей и ее влияние
%
(9.13) и (9.14).
ф ~ф(5)/(г -JL-),
(9.17)
ф = Ф(")/(т),
(9.18)
t = -7-тг / (т) ( ф (s') ds' + т (т)-
с0 с0 Л
и
Гл. 9. Распространение слабых ударных волн
308
на амплитуду Ф (s) принимаются из линейной теории без изменения, но
допускаются более общие профили / (т).* Можно предположить, что в еще
более общих задачах может понадобиться комбинация обоих подходов, но
такой анализ выглядит устрашающе.
Второе обобщение рассматриваемого метода связано с тем, что часто
нелинейная скорость распространения зависит от производных фt и ф8, а не
от самой функции ф. Однако при этом процедура меняется мало. Выражения
для ф* и ф8 выписываются в виде, аналогичном выражению (9.17), и
исправленные характеристики определяются из соответствующего разложения
В силу (9.17), соответствующие первые члены для ф( и ф8 равны
Типичный пример подобной ситуации связан со сферическими волнами в
газовой динамике. Линейная теория - это акустика, и фь ф,, соответствуют
возмущениям давления и скорости. Из (7.3) и (7.4) имеем
где F (т) = - /' (т)/йд. Нам потребуется также возмущение скорости звука
а, которое определяется равенствами а - Др __ -у - 1 Р - Ро _ у -1 F(t -
r/a0)
<Pi = Ф (s) /' (г), ф8 = - ф (в) /' (Т),
и характеристическое соотношение принимает вид
~ = ±--kf (t)Q>(s), k = al - a3^1.
Характеристики определяются из уравнения
S
S
t = - kf(x) \ 0(s')ds' + T(x). (9.19)
со J
о
yF (t~r/a0)
Г
F (t - r/aQ)
f (t - г/а0) "о'2
Г
а0 2у Ро 2 г
Нелинейная модификация решения имеет вид
Р-До _ УF (т) о-До _ Y-1 Т(т) Ро г ' а0 2 г
и _ F (т) /(т)
¦До- г Дог2 '
(9.20)
(9.21)
9.1. Метод введения нелинейности
309
где т (t, г) следует определять по исправленным характеристикам-Точные
характеристические уравнения были приведены выше (см. уравнения (6.135)).
Выходящие характеристики имеют скорость а + и. Следовательно, для
поправки первого порядка к характеристикам имеем
dt 1 _1____a -f- и ¦ ар .0
dr а~\-и а о а(r) ' '
Согласно (9.20) и (9.21), это означает, что
