Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уизем Дж. -> "Линейные и нелинейные волны" -> 105

Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны — М.: Мир, 1977. — 638 c.
Скачать (прямая ссылка): lineynieinelineynievolni1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 215 >> Следующая

волна по мере усиления ускоряется. Это как бы расталкивает лучи, и не
получается ни наложений, ни каустики. Возмущение обгоняет ударную волну,
как показано на рис. 8.18, и выравнивается, расплываясь вдоль ударной
волны.
Подробно задача формулируется как задача Коши с начальными значениями М и
0, заданными на исходной ударной волне. В двух измерениях эта задача
полностью аналогична задаче, рассмотренной в § 6.12. Имеется исходная
область взаимодействия, а затем возмущение разделяется на две простые
волны, движущиеся в положительном и отрицательном направлениях вдоль
ударной волны. Для каждой] из них полные изменения 0 и М будут равны
нулю, так что они в конце концов превратятся в А-волны
8.8. Устойчивость ударных волн
299
с вторичными ударными волнами впереди и сзади и линейным убыванием 0
между ними. Форма ударной волны будет соответствовать рис. 8.18.
Подробные вычисления здесь приводиться не
Рис. 8.18. Схема положений ударной волны (сплошные кривые) и лучей ,
(штриховые кривые) для нелинейного распада каустики.
будут. Согласно общим результатам, установленным ранее, вторичная ударная
волна затухает как t~1/2. Для равномерно распределенного начального
возмущения типа синусоиды возмущение затухает как lit (см. § 2.8).
Устойчивость сходящихся цилиндрических ударных волн
Возникает интересный и важный вопрос об устойчивости сходящихся
цилиндрических и сферических ударных волн. Ожидаемое высокое давление в
центре будет значительно ослаблено несовершенной фокусировкой. В
экспериментах Перри и Кантрови-ца [1] были обнаружены очень симметричные
формы для слабых и умеренных ударных волн и некоторые признаки
неустойчивости для сильных ударных волн, хотя выводы не представляются
достаточно четкими.
Интересно проанализировать этот вопрос, используя нашу теорию. Локальные
выпуклости на ударной волне будут проявлять тенденции, описанные для
плоских ударных волн, но на них накладываются общее движение к центру и
усиление волны в целом. Отставшие части будут проявлять тенденцию к
усилению, но другие части уже усилились за счет общего движения и
близости к центру, так что отставшие части могут продолжать запаздывать
и, возможно, отставать все больше и больше. Пока радиус
Гл. 8. Динамика ударных волн
300
достаточно велик, кажется ясным, что поведение будет близким к плоским
волнам и распространение будет устойчивым. Поэтому вопрос касается
поведения ударной волны вблизи центра, где ее интенсивность велика.
Задача для сильных цилиндрических ударных волн была исследована Батлером
[2] при помощи метода малых возмущений, неявно включавшего приближения
теории трубок лучей. В развитой здесь общей формулировке она решается
проще и без использования предположения о малости возмущений. Для сильных
ударных волн двумерные уравнения (8.59) - (8.61) принимают вид
50 , nMR дМ ^ (8Л02)
йр 1 Мп+2 да 50 , Мп дМ ,о 1Поч
-6а+-ЩГ~Ж = °- У
Симметричное решение для ударной волны с исходным радиусом Rо дается
формулами
е= М = Ж0 ( - n+1 -^-к-Г]/(г'+1), а<0. (8.104)
/10 \ Т1 /го /
Как и следовало ожидать, оно совпадает с решением Гудерлея.
Для изучения возмущений этого решения используем преобразование годографа
уравнений (8.102) и (8.103) и поменяем ролями зависимые и независимые
переменные. Это приводит к линейным уравнениям без каких-либо ограничений
величины возмущений. Сначала введем новые переменные
/ М \n+i (п+1)0 Мва
-\ mJ • ' s_ уп
тогда уравнения (8.102) и (8.103) перейдут в следующие:
(8.105)
h- _1_ "г о
Я. та яо V,
дв , dq _ п ds "Г '
В этих переменных симметричное решение имеет вид q оо 1/s, 0 оо р. При
преобразовании годографа р и s рассматриваются как функции от q и 0.
Формулы преобразования таковы: (c)р = = Jsg, 0S = - /р9, = - Jse, qa =
/Ре, где J - якобиан
д (?, (c))/Э (s, Р). Уравнения (8.105) принимают вид
Ре + <fsq = 0, Р9 + S0 = 0.
Исключив р, получим одно уравнение
q2sqq -Г 2qsq = s0e. (8.106)
8.9. Ударная волна в движущейся среде
301
Решая его методом разделения переменных, находим
s = gVm0, ^-i-±(|-^)1/2. (8.107)
Если т = 0, то при р, = -1 имеем симметричное решение. Если 771^1, то Rep
= -'/а- Следовательно, при приближении ударной волны к центру, когда q
оо, гармоники доминируют над симметричной модой. Поэтому ударная волна
оказывается неустойчивой.
Мнимая часть показателя степени р указывает, что возмущение состоит из
волн, распространяющихся по ударной волне. Когда возмущение становится
большим, якобиан J может обратиться в нуль. Это означает, что отображение
(q, 0)-плоскости на (s, (3)-плоскость перестает быть взаимно однозначным,
что соответствует появлению вторичных ударных волн. Когда достигается эта
стадия, дальнейшие расчеты следует проводить численно в (s, (3)-
плоскости.
8.9. Распространение ударной волны в движущейся среде
При рассмотрении возмущений в движущейся среде из линейной теории можно
заключить, что лучи не ортогональны к волновым фронтам (см. § 7.9 и рис.
7.12). Соответственно мы не можем ожидать, что в нелинейной теории лучи
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 215 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed