Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
будут ортогональны ударным волнам. На первый взгляд это приводит к
затруднениям поскольку нелинейная формулировка опирается на
ортогональность при сравнении распространения в трубке лучей с
распространением по данному каналу. Однако выход состоит в том, чтобы в
качестве пробного случая рассмотреть распространение возмущений в
однородном потоке.
В системе отсчета, движущейся с потоком, применима старая формулировка, и
остается только совершить преобразование Галилея к другой движущейся
системе, чтобы получить правильную формулировку для движущейся среды.
Тогда, как и ожидалось, лучи уже не будут ортогональны ударным волнам.
Эта задача была решена автором (Уизем [12]), а приложения указаны
Хуппертом и Майлсом [1].
Интересно было бы продолжить зто исследование, чтобы увидеть, каким
образом можно непосредственно сформулировать теорию для движущейся среды.
Все указывает на то, что близость лучей к линиям тока не столь важна, как
первоначально представлялось, и это может привести к новым точкам зрения.
Глава 9
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СЛАБЫХ УДАРНЫХ ВОЛН
Как было указано в начале гл. 8, можно развить другой подход и охватить
другой класс задач, связанный с ударными волнами сравнительно малой
интенсивности. Геометрические эффекты вводятся теперь без изменения из
линейной теории, после чего мы в состоянии справиться с более общими
нелинейными взаимодействиями внутри волнового профиля. Приближенные
методы будут развиты для нестационарных волн, первыми примерами которых
явятся сферические и цилиндрические волны. Затем будет более детально
исследована задача о звуковом ударе, являющаяся, по-видимому, наиболее
интересным приложением теории слабых ударных волн.
Неприятности от звуковых ударов принимают угрожающие размеры, но
фактически эти удары представляют собой чрезвычайно слабые ударные волны
и естественная цель - сделать их еще слабее. Максимальное избыточное
давление у поверхности Земли для современных и проектируемых
сверхзвуковых лайнеров составляет около 2 фунт/фут2 (т. е. около 0,15
кГ/сма.- Перев.), что соответствует ударной волне интенсивности порядка
10-8. Основную задачу для постоянной скорости и траектории полета можно
рассматривать как задачу о стационарном сверхзвуковом обтекании, так что
здесь будет продолжено развитие теории, изложенной в § 6.17.
9.1.
Метод введения нелинейности
Геометрические эффекты в простейшей форме возникают при рассмотрении
сферических волн. Если линеаризованная теория описывается волновым
уравнением, то решение для расходящейся сферической волны имеет вид *)
Ф = (9.1)
х) В § 7.3 для радиальных расстояний в сферической н цилиндрической
геометрии было удобнее использовать различные обозначения, а именно Янг,
поскольку решение для точечного источника использовалось для построения
решения для линейного источника. В этом больше нет необходимости, и мы
используем обозначение г в обоих случаях.
9.1. Метод введения нелинейности
303
где с0 - скорость распространения возмущения. Амплитуда затухает как 1/г,
в то время как площадь поверхности, через которую распространяется
энергия, растет как г2. Волновой профиль уменьшается за счет множителя
1/г, но в остальном не изменяется. Если зтот результат является
линеаризованным решением соответствующей нелинейной задачи, то, как мы
знаем, нелинейное искажение профиля является определяющим при правильном
описании опрокидывания волны и распространения ударной волны.
Предположим, что истинная нелинейная скорость распространения возмущения,
определяемая из характеристических уравнений, равна с (ф)
(линеаризованная скорость с0 равна ее значению при ф = 0). Тогда можно
ввести нелинейное искажение, модифицировав (9.1) следующим образом:
где т (t, г) выбирается так, чтобы на кривых т = const выполнялось точное
характеристическое соотношение, т. е. мы требуем, чтобы
Поскольку ф определена как функция от т и г, эти соотношения дают
дифференциальное уравнение для т, которое легко проинтегрировать, поменяв
ролями rut. Мы имеем
где интегрирование проводится при постоянном значении т, а Т (т) -
произвольная функция, которая появляется при интегрировании по г.
Уравнение (9.5) определяет т (t, г) и вместе с соотношением (9.2) дает
нелинейную модификацию решения. Этот метод введения нелинейности впервые
был предложен Лан-ДаУ [1]> а затем независимо автором в связи с задачей о
[звуковом ударе (Уизем [1-3]).
Функция Т (т) связана с произволом в выборе характеристической
переменной. Как только Т (т) выбрана, / (т) определяется из
соответствующих граничных условий на источнике. Различные способы выбора
Т (т) компенсируются выбором / (т). В общей теории ради простоты можно
положить Т (т) = т, но в конкретных задачах иногда полезна дополнительная
свобода выбора. Следует отметить, что функции / в линейном решении (9.1)
и в нелинейном варианте (9.2) будут совпадать лишь в том случае,
х- = с(ф) при т - const.
(9.3)
(9.4)
отсюда
,(9.5)
Гл. 9. Распространение слабых ударных волн
