Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
А - вторичная ударная волна. По оси абсцисс отложены значения ф.
а/и
Рис. 8.14. Дифракция на цилиндре при М0 = 2,81 (по Брисону и Гросс; 111).
А -экспериментально найденные тройные точки, В - характеристики С -
вторичная ударная волна 1, D - лучи, Е - вторичная ударная волна 2
8.7. Дифракция плоских ударных волн
293
Решение уравнения (8.100) изображено на рис. 8.13. Брисон и Гросс
используют это решение вплоть до <р = 45°, а затем переходят к подробному
характеристическому решению. Когда два стебля Маха пересекаются в задней
критической точке, за цилиндром образуется другая вторичная ударная
волна. Результаты приводятся на рис. 8.14 и сравниваются с
экспериментальными данными. Теоретически найденные положения ударной
волны и двух вторичных ударных волн соответствуют сплошным линиям, а лучи
- штриховым. Кружками и треугольниками отмечены экспериментальные точки
для положений вторичной ударной волны с числами Рейнольдса Re = 7,79-104
и Re - 0,87-104 соответственно. В эксперименте около фронта возникал
вихрь, траектория которого нанесена крестиками; этот вихрь, конечно, не
описывается нашей простой теорией. Теневые фотографии картины течения
представлены на рис. 8.15а, 8.15Ь и 8.15с.
Дифракция на конусе или сфере
Для трехмерных задач используется исходная система уравнений (8.50) -
(8.52). Для осесимметричных задач первые два уравнения принимают вид
ai + a! -
где х - расстояние вдоль оси вращения, а г - радиальное расстоя-яние.
Опять удобно ввести лучевой угол 0 равенствами
cos 0 sin 0
~М~' "г W
и работать с системой
д_
дх
- (¦
дх \
/ sin 0 \ 1 д 1 ( cos 0 \
V М ) 1 дг ' [~М~ )
гс"в_)+_|_(_г^е ) = 0, (8.Ю1)
а _ tm А<) / (Щ) *
На границе имеем tg0 = r'w (х) при г = гw (х).
Для дифракции на конусе решение является автомодельным и все величины
зависят лишь от r/х. Уравнения (8.101) можно свести к обыкновенным
дифференциальным уравнениям, которые следует решать совместно с условиями
на стенке и на вторичной ударной волне. Детали приведены в оригинальной
статье (Уизем [9]). Брисон и Гросс обобщили вычисления и сравнили
результаты
Рис. 8.15а. Теневая фотография дифракции ударной волны на цилиндре
диаметром 0,5 дюйма (1,27 см) при М0 = 2,82. Видна начальная стадия
отрыва пограничного слоя. (По Брисону и Гроссу [1]).
Обозначения: I.S.- исходная ударная волна; M.S.- ударная волна Маха;
R.S.- отраженная ударная волна; C.D.- контактный разрыв; Т.Р.- тройная
точка; V.- вихрь.
8.15b. Теневая фотография дифракции ударной волны на цилиндре диаметром
0,5 дюйма при М0 = 2,81. (По Брисону и Гроссу [1]). Обозначения те же,
что на рис. 8.15а.
. 8.15с. Теневая фотография дифракции ударной волны на цилиндре диаметром
0,5 дюйма при М0 = 2,84. (По Брисону и Гроссу [1].) Обозначения те же,
что на рис. 8.15а.
Рис. 8.16. Сравнение теоретических (сплошная кривая) и экспериментальных
(кружки) результатов для угла вторичной ударной волны при дифракции на
конусе (по Брисону и Гроссу [1]). А - вторичная ударная волна.
Рис. 8.17. Дифракция на сфере. Кружки соответствуют случаю М0 = 2,85,
крестики - М0 = 4,41 (по Брисону и Гроссу [1]). А - вторичная ударная
волна 1, В - характернстнкн, С - тройная точка 2.
Гл. 8. Динамика ударных волн
298
с экспериментальными данными. На рис. 8.16 проведено сравнение для
зависимости угла вторичной ударной волны % от угла границы 0 w при М0 =
3,68.
В случае сферы Брисон и Гросс проделали вычисления для системы (8.101)
методом характеристик. Вычисления в окрестности передней критической
точки проводились приближенным методом, аналогичным методу,
использованному ими для цилиндра. Полученные результаты не так полны, как
для цилиндра, но согласование между теорией и экспериментом, показанное
на рис. 8.17, столь же хорошо.
8.8. Устойчивость ударных волн
Рассматриваемая теория позволяет получить количественную оценку эффектов,
на которые всегда ссылаются при объяснении устойчивости плоских'ударных
волн. Предположим, что по какой-либо причине на''ударной волне
образовалось вздутие, изображенное на рис. 8.18. Отставшая часть
соответствует вогнутому участку фронта и, следовательно, будет
усиливаться по мере распространения. Усиливаясь, она будет ускоряться и
таким образом вздутие будет сглаживаться. Аналогичным образом любая часть
ударной волны, выдающаяся вперед, ослабляется и замедляется. Общим
результатом является устойчивость. Рассуждения об изменении интенсивности
волны в зависимости от кривизны количественно выражаются соотношением
между А и М.
В линейной геометрической оптике вогнутая часть волнового фронта приводит
к каустике, поскольку линейные лучи ортогональны исходному волновому
фронту и образуют огибающую (см. стр. 239-240лвыше). По мере того как
волновой фронт распространяется по сходящейся трубке лучей, он
усиливается и его интенсивность неограниченно возрастает при приближении
к каустике. Но в линейной теории скорость возмущений неизменна, и поэтому
лучи остаются прямыми. В развиваемой здесь нелинейной теории ударная
