Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(М0). Одной из немногих величин, которые можно найти в точной
формулировке этой задачи, является скорость первого сигнала. Согласно
теории звука, первое возможное возмущение от угла распространяется в
область течения за ударной волной с локальной скоростью звука а
относительно течения с локальной скоростью и. Следовательно, это
возмущение перемещается вдоль ударной волны со скоростью
где U - скорость ударной волны. Величины U, а и и можно выразить через
М0, и оказывается, что величина (8.89) равна а0с*, где
где К (М) определяется формулой (8.26). Для слабых ударных волн
Со~{4-(А/0-1)}1/2, с* ~ {2 (М0-1)}1/2, М0 1; (8.90)
Таким образом, зависимость от М0 оказывается одной и той же, и фактически
имеет место приемлемое численное согласование при М0 > 2. Для слабых
ударных волн с0 = V2 с*. Можно возразить, что с * дает скорость только
первого сигнала и что на самом деле основное возмущение может приходить
позднее. Но все свидетельствует, по-видимому, о том, что для слабых
ударных волн истинное возмущение распределяется по всему звуковому кругу,
а приближенная теория концентрирует возмущение, грубо говоря, в половину
этой области.
К - (U - uYY'^
(8.89)
Эту величину следует сравнить с
для сильных ударных волн при у =1,4
с0 - 0,4439М0, с* - 0,4082М0, М0 -> оо.
(8.91)
Гл. 8. Динамика ударных волн
286
Мы увидим ниже, что полная амплитуда возмущения предсказывается, как
свидетельствуют значения М w, очень хорошо, и концентрация возмущения в
этой теории неизбежна. Для более сильных ударных волн возмущение будет
более сконцентрированным, и приближенная теория прекрасно описывает такое
поведение. Можно добавить, что в этой теории основное внимание уделяется
локальному поведению в окрестности ударной волны, а это, очевидно, лучше
подходит для сильных ударных волн. К счастью, задачи о слабых ударных
волнах менее интересны и в любом случае могут быть решены в рамках
линейной акустики.
Несмотря на то что точная формулировка для дифракции около угла приводит
к автомодельному решению, зависящему от x/a0t и y/aQt, в общем случае с
ним мало что можно сделать. Однако для малых углов 0 w можно
линеаризовать течение за ударной волной и провести решение до конца. Это
было осуществлено Лайтхиллом [4]. Мы можем сравнить наши результаты с
результатами Лайтхилла для этого частного случая. При малых значениях 0 w
формулу (8.84) для числа Маха М w у стенки можно аппроксимировать
следующим выражением:
Мш-Мо = С(Мо)0ш={-^|^-}1/201о. (8.92)
Сравним это выражение с результатами Лайтхилла в двух предельных случаях
М0 1 и М0 оо. Для слабых ударных волн
Mw-M0~ {1(Мо-1)}1/2еш,
тогда как у Лайтхилла это значение умножается на 8/(Зя). Для сильных
ударных волн
Мш-М0~ 0,4439 M0QW, а значение Лайтхилла приходится определять по
графику, но численный множитель, по-видимому, близок к 0,5. Теория
Лайтхилла показывает, что для слабых ударных волн возмущение
распространяется по всему звуковому кругу, но для более сильных ударных
волн оно более сконцентрировано, и действительно, при М0 ->- оо кривизна
стремится к бесконечности.
Учитывая сравнительную простоту этой приближенной теории, результаты
можно считать удивительно хорошими. Анализ Лайтхилла, ограниченный
случаем угла и малых 0 w, уже существенно сложнее нашего; приближенную же
теорию можно применять к огромному множеству задач, для которых другие
аналитические решения не найдены. Результаты должны быть хорошими, за
исключением очень слабых ударных волн, но даже для них полное изменение
числа Маха должно предсказываться хорошо. Об экспериментальных проверках,
показывающих это согласование, речь пойдет ниже.
8.7. Дифракция плоских ударных волн
287
Решение для произвольного исходного числа Маха и любой величины угла
дается формулами (8.87) и (8.88). В пределе сильных ударных волн, когда
М0 -оо, эти формулы упрощаются
Рис. 8.9. Дифракция ударной волны: сравнение экспериментальных (сплошные
кривые) и теоретических (штриховые кривые) результатов (по Скьюзу).
и форма решения становится яснее. Для сильных ударных волн
соответствующее выражение для М w принимает вид
Mw = M0exV(-^Lr), (8.93)
и в веере
М _ j \1/(п+1)
ДГ0 V ЛГ0а / '
Гл. 8. Динамика ударных волн
288
Уравнение для ударной волны в момент времени t = а/а0 находится из (8.88)
с / (М) = М~п. Легче всего использовать в качестве параметра 0 вместо р и
определить постоянные интегрирования из условий х = M0a0t, у = M0a0t/Yп
при 0 = 0. Тогда имеем
х 1 г гс+1 J /2 ?0/sin (т) - 0), 1
M0a0t ' 1 п
У ( ' п + 1 ' JДо/Vi' cos (г|-0), J
M0a0t \ 1 п .
где tg г] =У~п. Форма ударной волны приведена на рис. 8.8 для 0Ш = - п/2.
Автомодельная форма решения уже была указана, и мы лишь добавим, что для
сильных ударных волн решение также сопоставимо с М0.
Решение для различных значений М0 сравнивалось с экспериментальными
результатами Скьюза [1]. Согласование оказалось приемлемо хорошим;
типичные результаты воспроизведены на рис. 8.9.
