Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
304
когда Т (т) выбрана так, что т - t - г/с0 (с достаточной точностью) там,
где накладываются граничные условия.
Конечно, эта нелинейная модификация решения обычно не удовлетворяет
заданным нелинейным уравнениям точно, да пока она еще и не обоснована
даже как формальное приближение. Однако чувствуется, что она улавливает
важные нелинейные эффекты для малых ф. В более простом случае,
рассмотренном в § 2.10, а также в случае плоских волн, мы видели, что
линеаризация характеристик была источником неравномерности аппроксимации.
Нелинейность вносит искажения и в амплитудный множитель 1/г, но можно
ожидать, что эта вторая модификация будет равномерно малой по ф.
Сформулированная точка зрения будет подтверждена впоследствии, когда мы
приступим к более тщательному оправданию этого метода. Для того чтобы
увидеть полностью его возможности, мы сначала обсудим дальнейшие
следствия и обобщения.
Поскольку для сферических волн решение ф имеет особенно простой вид,
интеграл в (9.5) поддается изучению и упрощается заменой переменной
интегрирования на f (т)/г. В других задачах, однако, соответствующие
выражения менее удобны и полезно наметить общую схему анализа. Используя
в качестве отправного пункта линеаризованное решение, мы уже
предположили, что ф мало, и поэтому корректно заменить с (ф), скажем на
с0 + с4ф + + О (ф2) и использовать (9.3) в приближенном виде
Разложение по степеням ф проводится для dt/dr, а не для dr/dt, ввиду
последующего интегрирования по г. Тогда (9.4) принимает вид
В линейной теории мы положили бы характеристическую переменную т равной t
- г/с0 или функции от этой разности. Мы видим, что такая линейная
аппроксимация неравномерна, поскольку дополнительный член стремится к
бесконечности при г -v оо. Член с In г мал по сравнению с г, но его
следует сравнивать скорее с выражением c0t - г, характеризующим
расстояние от переднего фронта волны. Предположение, что поправка к
скорости распространения будет определяющей, подтверждается, и возникает
аналогия с ситуацией, рассмотренной в § 2.10.
Замена уравнения (9.4) приближенным выражением (9.6) - не только
упрощение. В большинстве задач оказывается действитель-
(9.7)
а характеристиками становятся кривые
* = -Г--?/М1"г + Г(т).
с0 со
(9.8)
9.1. Метод введения нелинейности
305
но бесмысленным сохранять члены высшего порядка по ф, поскольку само
выражение (9.2) верно только с точностью до членов второго порядка по ф.
Сингулярное поведение In г при г -> 0 не вносит каких-либо особых
неудобств, поскольку поправочный член несуществен вблизи начала
координат, где можно вернуться к линейной теории. Однако, чтобы
использовать выражение (9.8), как оно есть, следует исключить начало
координат и применять это решение вне некоторой сферы г = r0 (?), на
которой заданы граничные условия. (Например, источник жидкости можно
представить в виде расширяющейся сферы, раздвигающей жидкость.) Тогда Т
(т) можно выбрать так, чтобы уравнение (9.8) имело вид
При таком выборе нелинейная характеристическая переменная т совпадает с t
- г/с0 на граничной поверхности и функция / будет такой же, как и в
линейной теории.
Волны, описываемые формулами (9.2) и (9.8), будут опрокидываться, как
только появится огибающая характеристик и решение станет многозначным.
Если с4 > 0, то волна, несущая возрастание ф, опрокинется. Например, для
Т' (т) >0 зто означает, что опрокидывание происходит, когда /' (т) > 0.
На огибающей
Для волны, определяемой соотношением (9.9), опрокидывание впервые
произойдет на расстоянии, равном
где тт - точка максимума для/' (т). Затем следует ввести ударную волну.
Метод введения ударной волны будет следовать известной нам схеме, и мы
пока отложим его рассмотрение.
Рассмотрим теперь обобщения этого метода. Прежде всего линейные решения
могут быть не такими простыми, как (9.1). Например, в случае
цилиндрических волн решение (7.29) имеет вид
Характеристическая переменная t - г/с0 ясно видна в верхнем пределе, но
как t, так и г входят также и в подынтегральное выражение. Однако
результаты для плоских и сферических волн свидетельствуют о том, что
нелинейные,эффекты становятся важными на больших расстояниях, а на
больших расстояниях,
(9.9)
-И-/'(т)1пг- Г (т) = 0.
С0
t - г/со
(9.11)
Гл. 9. Распространение слабых ударных волн
306
согласно (7.32),
Ф~~*Д7^/С". (9.12)
Следовательно, на больших расстояниях нелинейность можно ввести почти
также, как и в сферическом случае. Если истинная скорость распространения
составляет с (ф) = с0 + с*ф -f О (ф2), то положим
Ф = -^, (9.13)
Г
Ч /(т)
dr с0 eg г1/2 *
t==~t~ -pr/(T)r1/2 + T- (9.14)
Здесь функция Г (т), получающаяся при интегрировании по г,
положена равной т; поправочный член остается малым при г -> 0,
и нет необходимости в более тщательном выборе Т (т). Снова линейная
теория, в которой т = t - г/с0, приводит к
неравномерной аппроксимации при г-*- оо. Далее, хотя до сих
пор основ-
ное внимание уделялось поведению на больших расстояниях, отклонение
