Теория нелинейных решеток - Тода М.
Скачать (прямая ссылка):
а, ч(л)+4г *(2)+**. **(*)= л *(г)> 5)
az'f(2) + 40 Ч(г)+&0 ч>(ч)=ЛЧ'(г)
и определитель для коэффициентов
Я й-i 0*0
cl i Sz - Я 8,z
tc~*
Как мы знаем, собственные значения ( j =1,2,3) матрицы L+ не зависят от
времени.
Решая последовательно уравнения (4.8.3), получаем
I%г)
t ,0 Ml______________^
& 0
? 0,^ {л V2/K* Ч>0) Л.
^ w = - - r3j" 57 ^л7"7---------*7'
if (v = -4-- (n-ixW-tM-**)-
j & 2.
-^(ь-^-тгтг (*-*•)>
192
так что
й(Л)=Ч>*(Ъ )+Ч>2(2)-
d (!-4i)(A-42)(A-4,o)
&й ссга0
Л0 CL i &-z &а
С 9.2. С )
В итоге
M(i+'dl) =-айлгсь0 [Ат-2] (9.r?)
где я-л Я-z = ~*/S и й (л ) не зависит от времени.
Дополнительный спектр определяется из
'f'*(V,/t)=0 (9.2./)
или
О"--/д. )(/>-4е) _ л2 (9.2.9)
& 4 ^2 ^ 3-
Это совпадает о уравнением для определителя
Д'А аг \
c/et )=0, (Ы*о)
V 4, /
который можно построить, используя правые нижние элементы матрицы L* - М7
т.е. суравнением
ju z- (4z + 40 )р (4042 ) = 0. (9-2. 11)
Корни данного уравнения определяются как
4z 140 ?(42 --€0 )z + 9 cl ( '
\di
z
(9.#. 12)
|( ?2 + 4B + |/ (42 -4B )z+ 4cl()
\f4z - -
193
они осциллируют во времени (рис. 4.14). В данном случав для 1 и имеем
<6. (*,/<) [
Л*
- (А-*,).
Следовательно,
Л2
и мохно записать
*=±2 сА -?*.|<Л* (!,/<) I. ((r-t-iS)
Рис. 4.14. Зависимость й(л) и дополнительные спектры f* 4 и в системе из
трех частиц.
Далее, так как
iZ
й(?)±
имеем
^Ah) =
(f. /. io
194
*° ' (/•-**) =
=------- - [(a,B9d2)/f-fa.g-f2-nzi?e)l. (9.2.12)
0-2 a. z я0 l
Заметив, что
' ?^411-е0=Я^Я21Яъ = con*t
{Л'/** =/**/,, (9,8.19)
Сг ~F± - \( (4Z ~40 )г+г9&'2.
получим
4\ * 4 * 4 - (f-*2-*.)2* 4' f 4 -
Далее, поскольку
[h(f*i)-&(hz)]
Л'Л
¦ = 8(^ + 0.* )) (9.2.21)
полную энергию системы можно записать в виде
? =2 (€* f 4l+4l)+ t/(&t * a j +а,*0) =
, -(4/g)[&(f<*)'M/,z)]*-/'\-ttl nDZ
= tf-- '/(/'S4z)?+24x.
A ~Pz
(9. /. 12)
195
Скорость изменения найдем из (4.8.12):
Л г1г ' Ччлк ' 1
Используя соотношения
Р0 - 2(^2~<го), (i. g.24)
<*о~ 2 O',-(#z~ 7
запишем
(*'*-Ьо)(/'Г/'±)~(*г"ео)(<*'^Ьо)
/Ч =-------------------------------------------(*.&2Г)
1 Рг "Л
С другой стороны, используя (4.8.14, 18, 19), имеем
^г(/-.уч
i±
2 Я 4 &д
(1.8.26)
Следовательно, получим результат:
• _у^2ЕЕ.
Г± ?
Вид зависимости й(/<) определяется начальными условиями, так
196
как А (р) не зависит от времени [си. (4.6.19)]. Таким образом, /2^
осциллирует меаду корнями уравнения 2{у. )-9 = О, т.е. медду Я* и Яг
.'Аналогично
• =+ {йг(?*)~± ' (U.iVS)
ж /* z осциллирует между Я v и Я г . Следовательно, данная сио-тема может
бнть выражена через набор точек, которые осциллируют между определенными
границами.
Проверьте справедливость следуицих уравнений:
&(р*)+?й2(р*)-ч' = ~-2,~ (/'*-¦*,) = A
СС2 О
г
^ 1е1 г с
Глава 5 ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ
Эта глава начинается с нескольких простых примеров, прояс-шгптптт
применение сопряженных переменных при рассмотрении дополнительного
спектра. Затем с помощью этих переменных к нелинейной цепочке применяется
теория Гамильтона - Якоби. Далее определяются канонически сопряженные
переменные действия и угловые переменные .
5.1. КАНОНИЧЕСКИ СОПРЯЖЕННЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Цепочка с экспоненциальным взаимодействием интегрируема, поэтому к ней
можно применить теорию Гамильтона - Якоби и получить канонически
сопряженные переменные действия и угловые переменные. Сначала переменные
действия были введены для бесконечной цепочки [5.IJ, затем теория
Гамильтона - Якоби была применена и к периодической цепочке. В основном
мы будем иметь дело с периодическими системами.
Начнем с простейшего случая двухчастичной периодической цепочки [5.2] .
Обратимся к системе центра масс, так что смещение одной частицы есть =х и
смещение другой есть f-2 = - х. Скоростями будут рл = эс и а
полная энергия имеет вид
Е = ic* * е~гх: * е*2х .
*2 / '2х \
Лагранжиан 1 = эс ~(е + е } дает импульс, сопряженный с коор-
динатой х:
Ы
=------- = 2 зе . (S.j. г)
198
Гамильтониан принимает вид
^ р2 + 2 с& 2ос.
ЛГ. 1. з)
Ьсли положить
А = ^ = ~Чх, (s'-*-*)
то можно рассматривать V как обобщенный импульс и /< - как его
сопряженную координату (конечно, можно взять в качестве импульса /4 ив
качестве координаты - v ). Тогда имеем гамильтониан
3t(t*,'i) = 2eK (М/г)* fs.J.s-)
и уравнения движения
д\/ 2
ЬЖ
(S. 1.6)
Так как из (5.1.6) следует уравнение
ly,
то V осциллирует около значения V = 0 и ц также осциллирует.
Рассмотрим теперь трехчаотичную периодическую систему. Как былс показано
в разд. 4.8, для этой системы имеются два дополнительных спектра и , и
они подчиняются уравнениям движения
i /аi * V • ± J л\ - 4
-----------> И, =± - , (5.1.?сь)
где
Д , = 4 6**), &г=&№г). (S.l.iJ)
Как было показано в предыдущем разделе, А* и /*г осциллируют
соответственно в интервалах ( Я г , Я 3 ) и ( лч , л у ). Сравнение со
случаем двухчастичной системы показывает, что в предположении
о*. (\//г ) ~ VAZ с/>) - '
199
можно ввести импульсы д, и /*2 , канонически сопряженные соответственно с
