Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тода М. -> "Теория нелинейных решеток" -> 42

Теория нелинейных решеток - Тода М.

Тода М. Теория нелинейных решеток — Высшая школа, 1984. — 262 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaneleneynihreshetok1984.djvu
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 52 >> Следующая

lz * --------------
/>
2i2
С другой стороны, последовательные замены дают =(г* Гл Уз +Гл <Гъ )h +
fc/i=
С я. *)
Обозначим
/>J=r*, [у*,Гг]=у*У1+*
и введем общую систему обозначения
[у* 7У2 > > У к] [У* > Уг ? •¦• > Ук-i ]у1с * [Улу Ух ,..., Ук-г],
(Я. Г*)
где
Тогда
}в[г*>Г2;-'-,УкЪк*[у*,Гг ,...,yk-*hw (*¦*)
Умножая обе стороны равенства на у kii и используя в правой части
тождество ум %k-уk+l, подучаем
h'k ' Ух , •••> У k-ti k+2 '
(ft f)
Далее умножим обе части (А.7) на fk42 и прибавим (А.6), тогда в левой
части получим [ук+л , yki.2]у . Повторяя подобную процедуру, получаем
тождество
[Ук+л 7 Ук+2.,..., fkiI -1 ~ >Уг Уk+i]tfk~*
-t(-l)iiX[rj,yz ,-.,Гк.л ]% к^г - lft'g)
Заменяя к на ? и / на mttud , имеем
213
. 'ГП+'П.
[fail fali-mi-rrltl* *('*)
* [fai ,..., min-id ' (ft-9)
С другой стороны, исключая и . " из соотношений
<3 {+7Ш1
[foil Ж[ГЛ,...,Г^гп]^^ [jfl'--->fo~lb/i7T,i± 3
(fl.JDtz)
[fo+mi2,..-/fo+7rJin]<f~[fal--''.>foi?rl**]<f-{i(tm)il+(~1) *, V
x(fi, ¦'•))Г-е*-гг>]^4з7пт-И > ' 0
которые могут быть получены из (А.8), получаем связь между у ,
U и У (iwi-nii . Сравнение этого соотношения с (А.9) после некоторых
вычислений дает
[fafn,...,fafi7r,][fai ,...,fa{ гтти-]
l.fo,---,foi7n][foil,...,][r^-t'}rJHv]^fo) f-fa,..,,fo-r 1 ] *
LfoimiZ ?+mii% J. (A ll)
В случае l=n=d имеем
[fai,..., foaz^ f-faz >...,famn] [fal 7 " • j famn ][faz,..
(a. u)
где использовано (A.56).
Уравнения (А.И) и (A.IOa) имеют одну и ту же форму, и если положить тп =
0 в (А.II), то оно примет такой же вид, как (А.6). Таким образом, когда
Yikn заменяется на ^ г и определены
(*)-[&*, К,Ггп-1 г,ггп],
Pm fofo[fai> fai 'fav > faг-п-1%-> faггь],
I
Qz-nil (Z) = [fai fa faz,fa}2 f2r.il fo,
5*2741 ^ ~ [fo tfai^.faV , }T277. , X~2nil 2 j,
(Я-13)
214
то (А.З) дает
+
VtJV lz+ ~----
Г32+.. 1
=пг+ :-----------------
Рт*л6) Гг*
Гг**-. 1
* + ----
1
r,s
гп Г, г
2п+±
Положим теперь
Р<Г1/г± > Ы = */Г~Гп*1
тогда (А.14а) может бнть приведено к виду
Р-п. (1) _____________Ро_____________
Cln(Z) 2 +
1 +--------
2 + ^
где последний член внизу справа не выписан. Далее, дество
2 +------------= *+Рх----------
iV"/?' г***
с параметрами 2 и ж', получаем Я* (2) /"р
а^(*) *+Pi -
**Рг+Рз - - -
**p4+Ps-
(Л.Цл)
(R-J9S)
Г ft- U)
используя тож-( ft. 1?)
215
Таким образом, если обозначить ( Ро ~Хо > At = Y* , P1Pi=X1, Рг+Р^Ъ,
у>р*тХл> p9iPf^y3>
( 7
получим
рЛг*) Xв
( Я-1Э)
(П. 20)
* -
х+Уг -.
С другой стороны, складывая (А.II) и (А.10а), имеем
alnCi)P2n.tw-p^ (г>а1", (%)ч <я-а>
ИЛИ
Pn"(Z) Рп.(*) ('*У
. TV
a^jz) ап(г) *.**(*)
(fl. 22а)
Если положить к= 0, то формально получим
Р± (г) Р0 (1) _ 1__________
Q.Jz) ae(z) Q0 (г)ал (г)
(Я. 226)
что будет удовлетворяться, если положить Ps (х)= Ql0(z) = 1 и Vc (*)~ °-
Тогда
Ръ (Ю _ 1_______________d (-1)п~а
Q.^(zi Q0(z)a^(z) Ол(г)вл(ж)4' &n.±(z)Qn(z)'
(Л. а)
Как можно видеть из (А.5а), Рп(?) и Q.n(t)~ полиномы от X , и если
выписать члены высшего порядка, то получится
216
&2П-1* (3.)=]T2 fi " • ]f 2п+Л 2 + "'7
^¦2n*d (x)~j"' )Гггч± % +'" "
Поэтому &.". (l)Qn+1(t) еоть полином отепени ?z'4 , который может быть
зашоан в виде
OLrt,C%)GL^+dCi)^cz(^xi)(z^xx)...C^x^) ra./f)
о положительными поотоянными С , х х , ... . таким обра-
зом, имеем
* ..<¦"*> fC*4 (П)
_-------------_?_й------ZJLZL.+ -n-jz-------(&и)
2) г"- г*1'2
1?Ь I* '"Ж*/
ftO fn)
где , ... - некоторые поотоянные. Предположим, что
оущеотвует предел
IUyl SjyJll -Л1И , (Я-П)
Л-"*" &ГХ. (Ъ) 0.(1)
и запишем
PCD с о с* . с *¦ с2п+л , сг"-
- u - Ч * * " - * - - - * *
" - ,3 ~*П. *2тьИ
ап) % * 1 1 *
(Я. Л)
Тогда иэ (А.23) видно, например, что отношение Ргп- (*)/Qj-n. ^г> имеет
такой же коэффициент при 1~3п и может быть запиоано в виде
Рг-п. CD со _ с * ^ сг t _ сгп-1 + с 2п _ с2п + л.
Gl27vC*)~ г гд г3 г^"- аг,жм г'""*+'
Г /?• 14)
Поокольку Q 2 ?г-С*) - полином от 2 отепени п-, можно ыапиоать
217
^2n(z)sUrJ^^2 гг + -^(-1Гипгп'г
(Я. io)
и, следовательно,
PCX)
\ J
D;
D;
} f Р2ть (*} Г(г)
^ 2n (¦ % ^
С ~ С 2 rt* 2n + l ~ *- 2nt 1
, 2n+l
tint 2
. Ята
, ti+2
гл
где D_j , ,... - постоянные. Таким образом, Qi?b(z)P(?)/G(%)
совпадает с P}n(z), исключая члены, порядок которых выше, чем ^-(>it±) _
однако Р}п (г) есть полином от % . Поэтому видно, что
коэффициенты перед i/z , i/zz -л/г* у <S2tv(x)P(z)/Q(z)
или у Q 2nC-X)P(-z) /&(-1) должны исчезать, а именно
^pCk.'t'inCkti. + " * С ktn. О
(к^О; 1, Z, , П-Л).
(Я. i-2)
Положим 2= -Л и определим J.К из (А.30 , 32), тогда получим
az ... я*1-
с ± '-з.
С;
С
Cntl
, 7
n-а ... (¦ 2n-i
с я. а)
где
С а. а. * * ^ та.
С, Cl ... с
Сят1-..С
f/9. **)
218
Аналогично
я r
'П.
'Z ' ' ' Cn+A
с n+1 • • • c;
где
rt-
Cl
Cj. . • • ^ n -l
cz, ... С "
(fl. is)
(fl. U)
^ n-i С n- ' m 2.
Сравнением коэффициентов при членах высшего порядка в (А.24) можно
доказать, что
*
?
? -/3 ft.
и, таким образом, имеем
* г
¦ г
Далее, используя (А.15, 18), получаем X^Pzn-i Pztv~ ~ZT
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 52 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed