Теория нелинейных решеток - Тода М.
Скачать (прямая ссылка):
225
иди, изменяя нумерацию, -
; х* [о
- -л = { ' м-*;
__ (х;'хе) 1 (о-9-1).
Например, при ^ = 2
*Даг_, "¦¦*.*) + !/(** -хл)^0}
/(Хл -Х*) + Хл /(Хл-Х,) -1.
Если j (х) является полиномом порядка К, то, поскольку
i(x.)=ZL с(tm)*(tm), (*¦*)
771-О
получаем
Ях) ^ Р '(Xj)Cx-Xj)y </
что является интерполяционной формулой Лагранжа.
(Д. 3)
ПРИЛОЖЕНИЕ Е. Р'-ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Ст^-ФУНКЦИЯ РИМАНА)
Эта функция определяется соотношением fE.I]
, Я
т ¦ +
J </
(е.л)
Л1 ¦< ) • • • , / о
tf(<Anu.2 = 2..
иди
1^(u) = tr(u\t)=p ь*р(*ЧП и'тмп^-тпп)> (?.2)
где
... 'С
= 1 Ги ... Z
(?.5)
226
является вектором с единичной /с-й компонентой; тогда ясно, что l^(UfeK |
v ) -¦ Ь^(и\ с) (е S)
Далее, поскольку
" rn + (iri/еь)'Х(m + Zb)
t(Lc\z)=nb
'ГП
iffi 7Г>- (и, + 'йе.к )+fti- m - Г in
, -> -f .ч -> гпс тг>'(й + Теи )+?и in-zin
j7rcek-u.+fTiel<-ce-k l_, е
in >
r(ulx)=e?"aK*irtT*k 1г(2-^*к l'c >• ¦ (с-^
, -? -* "г- * // L /Г!' {U-* Т и ,
лпое~к-и +Г7с ек * с е-к Z-j в к
v
Если ввести обозначение
иек = | :
ttw \
f*k =Г , (?.?)
С3к
получаем
*a^\,)--eaiZ*-ruZ'k <сг>
2. Пусть ос - вектор;
и j (х) - функция вида
i(x)= m з(х*3,). (?.jo)
ТгГ - • 'О
Тогда j (х.)- периодическая функция с периодом I. Пусть ее рядом Фурье
является -" ->
JfTl П SX _
л"е , ff.";
"г -со
где Я есть вектор, компоненты которого - целые числа; тогда С -21TL п ¦ 7
с
г-ч Г -t ¦-> ^ t Tt- ' Ч . ^
= ZL ^ =
7° -* -2п1п-1/ (Е'12)
= $ }<)>* dh
"*> -*
где вектор ^ того же типа, что и х. . Тогда
^ . г- zntn-xT' п/^.-2Шн7
XL f(xfT*)=X. е J а$- (E.t))
Если положить 3? = 0, получим
7* -> -2iTiП-Jf
Ц }&>'?• i 3(3)*
й?=-"= я--"
т.е. формулу суммирования Пуассона.
Если отметить, что
шХIz) сE.JS)
\s(^)=^ni(tm)Tt+nL"''c(tm)> то с помощью формулы Пуассона получим
Г в "'РФ*"#*-(tm)'**;/-
= f J("-*), (EU>
kEl-L е 3
228
где
"Т пСч • Z4*j-* (Е.1Ч)
J(x)=\e Э ]
Г..^3 -ъ
с ос - ос - п.
3. Чтобы вычислить J Гвведем матрицу г , обратную к Г-матрице, и
заметим, что
(^tZ~±xyv(yz'*x)^'t'yi2xj/i'x'z Лх--Тогда подучаем, (7*Т'лх) г>
J(x)=e~TTiJC J е * V =
* е*э
^¦TTi2-z-JSc J eni7'ry^ (?¦ JV
- оо
Предположим, что i2T - оинметричная матрица; введен матрицы: унитарную ^
и транспонированную ?', чтобы диагонализировать матрицу -fr i V,
ообственными значениями которой пуоть будут чиола <2^(/ = -!, 2, ...
. " *?/ у
Далее, введя обозначение ^ имеем
" nl (?z)-Z(?t)
j e''{S*y*(S*} dx-
ft" - лэ
•/ _ "о - со
¦пЗ/1 тгЭ/z L*fz
(е.л)
(-tri)S'* \v\*/z \t\J/z ' где | Т | = dvt ZT.
229
Таким образом, _ .
t ' г~> -17с (U-п)' ^ (U~7t) _
1^(и It) = j . 3/2 c-i е
I ь- I П--°°
¦ а/г ^ 2ftin-V~*u.-fTi п,-Т- ГС
1 ~iru-T'Ju- У е
|r \1/z 6 ?"-""
I-r% (С")
что является мнимым преобразованием для iT-функции многих переменных. В
случае ч = 1 получаем мнимое преобразование Яксби (4.7.16).
ПРИЛОЖЕНИЕ Ж. МЕТОД ШРОТЫ
Запишем уравнение движения для бесконечной цепочки (тг=-<•<=>
• > сх=> ) в форме . " .
¦mdt*-а п / <ал = <*¦ (в- п'л-е */, ??с~?-п1-1~?п.г
и обозначим ^ (Ь) = л (е~ тогда получаем
(*¦*>
Если представить решение в виде
vn(i)--?-e* f"a>, (x.j)
получим уравнение
LL-zLL'f* LК-г21".'""У<>¦
(Ж.Ъ)
Ему может быть придана следунцая форма:
[Ь 1-</оА*(йп/1)]^-^=0> (Ж.*,)
230
где и Ьп определяются соотношениями ( / = 1, 2, ...) cl ~ 'jp')
Oi(t)4(t ) |^=^,
/ , . >>/¦ \-(A.---------------------) a(7t)/(n')
T) CL (,п)-'б('П}-\ $n dti'/
TV
tv -ti
Хирота (cp.С Ж.1] ) начал использовать эти операторы, чтобы получить
многосолитонные решения и обсудить преобразование Бэклунда.
Метод Хироты применим не только к нелинейным цепочкам; его можно также
использовать в уравнении КдВ, синус-уравнении Гордона -
^/дхл)Ч= >сп- У и в других системах.
Для этих операторов получено много тождеств. Например,
/ гг. f д
Ьхсх-1-(~э^) А,
(Ж. 6)
Если F'^D^ ? Dn) - полином от и , то в общем случае имеем
pfDt, Ъъ)е>гЛ*г^ =
_ ^ , ?>" >*5*/ (Ц1 +Stz )t +(fi
Как будет видно ниже, такие тождества полезны при расчетах.
Возьмем формальное решение вида (далее положим I = 1)
KU) = 1+*C+
Для коэффициента перед А получаем уравнение
[г,/, ({ ?;)]*} C'(t)' о, (Ж.з*)
а для коэффициента перед ?г - уравнение
Ат к ЩОН<-А
(Ж. 36)
231
Затем получаем уравнения для высших степеней ? . Решая их
последовательно, приходим к многосолитойному решению. Если взять од-
носолитонное решение в виде
* Tl-
то (1.9а) будет удовлетворяться, если , П=±Ж'Р>
(Ж. 10<f)
(2)
а (Ж.96) будет удовлетворяться, если j^ = 0.
Чтобы получить двухсолитонное решение, возьмем
ffi) = e^ + /4 (*J*>
Если положить
I . = t-Pi п ,
' • (Ж. 11')
0-fv р,
. С 4
для ? = 1, 2 (•- постоянные), то (Ж.9а) для t будет удовлетворено.
Поскольку (Ж.7) дает уравнение
PrHWC-C-
'-2 1чЧг*'1Г ,
L (Ж. 12)
видно, что (Ж.96) будет удовлетворено, если
= (Ж. 15а.)
*rv 7
где
я_ [2Ыг^)Т-[2^ (r*-p,)]Z (X.J5S)
-[2(Н,*Ял)]г+[21& (r^Pz )]г
В этом случае легко показать, что можно взять = (?-)-¦•'-О,
Таким образом получается двухсолитонное решение.
Временные переменные можно дискретизировать с помощью опре-
