Теория нелинейных решеток - Тода М.
Скачать (прямая ссылка):
232
делений
OK.i<i)
Хирота показал, что это уравнение также дает многосолитонные ре-
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. ЯВЛЕНИЕ ИНДУКЦИИ
Если возбудить колебательную моду цепочки, энергия будет перетекать к
другим модам из-за наличия нелинейного взаимодействия.
Рассмотрим одномерную цепочку с закрепленными концами (п = О и п - Л ).
Предположим, что потенциал взаимодействия содержит члены четвертого
порядка (это более удобно при численных расчетах). Тогда гамильтониан
имеет вид
Тогда получается уравнение
I-. (nVn
шения.
Введем нормальные координаты с помощью соотношения
>
где cj k - собственные частоты линейной моды, =2 -й+х (frk/2Ar) (-
/г*к*/г\
(3.V
и
(3. 4* ) (5. *S)
сьс =о,
<ZK = С1_ к
233
Уравнениями движения будут
Н."-ь>*как-яы*к Z.ZZ a.k,CLK"*k...b(M\k".k~)
к* к" к'"
(к=-л;... /r)t (3.5)
ГДЕ
Л 7V П U' I " I ,, ¦ П(к'+к*+к"')
Ы, 2) (kt к * к tk j~-C-)k ып. -
ZJr
1 c'iT;(kthr't-k'f k'")
2_. e ' (3.6)
2mh
Максимальное значение | k+/ск "+ к | есть I//*¦, имеем к*к'*к"+к'" =0,
D(0) = 1, (3.?*,)
kfk'*k"tk'~ =*2#, Ь(*2М)--1, (У U)
к.к'+к Ъ(*Ч*)=1- (*¦**)
b(k-fk V k"4k"')-D для остальных значений к^к'* к"* к'".
Уравнение (3.7а) дает правила отбора [3.1J .
Если возбуждена мода к 0 , а для остальных мод в начальный момент времени
а^ - 0, то
- (11)
что позволяет выразить первоначально возбужденное колебание а через
эллиптические функции.
В общем случае имеются следующие наборы к' "к", к " , которые позволяют
удовлетворить урловию (3.7а), накладывающему требования на (с 4 к'* к " *
к :
к '--к, к "=-к "'= к0 и эквивалентные (6 наборов), (3.0)
-к'=к =-к '=к и эквивалентные (3 набора) . (3.io)
Поэтому (3.5) дает уравнение
cik CLK а,* ак-(другие члены). (З-И)
Второй член справа в (3.11) происходит от (3.9), а третий - от (3.10).
Если никакие члены не удовлетворяют условию ?>(к+к '+к"4 к " )? #0 и если
в начальный момент времени 0-^ = 0, то все время
234
= \k"\=k'" = к, (3.14)
2
'к* 7
dk = о. Это означает, что мода к не возбуждается модой к0.
Однако для особых значений, таких,как .
кл-3ке d i2>
ИЛИ
кд=± Л? Л -г3кс), (511)
набор значений
| к'\ =\к" I =К°
удовлетворяет условиям (3.7а) или (3.76), т.е. D (k к' "• к. + *к"')*0.
Поэтому для таких значений к0 уравнение движения имеет вид
а" (i + 6*ak
4 4 # (3-1S)
где знаки + в правой части формулы возникают из-за (3.12, 13). Поскольку
последний член слева пропорционален а I и остается ма-лнм по сравнению с
другими членами, пренебрежем им; тогда
Ctki+ (l + к Ла1с0 )акл = 1 Я?0к± ак0 • О- и)
Член G\clk слева возник из-за (3.9), и в этом случае к - к + *ко-ко=0. е
Например, допустим, что
кс = 11. (3,1?)
Возбуждена 1Т-я мода; тогда (3.13) дает
к1 = Зк0-2Л'= 1: (3.1?)
(3 IV)
Поэтому мода кл*1
возбуждается. Поскольку в этом случае D (2А )= -1} получаем
ci1 + uf (г + 6 Я а11 )clx = + Я aJrt , (3.2с)
После возбуждения моды , возбуждается мода к = 3, потому что
кг-к1-к1 - кл =0. То есть (3.9) удовлетворяется не толь-
ко набором 3-3+11-11 = 0 , но также и набором 3-1-1-1 = 0, и эта связь
между двумя наборами приводит к возбуждению моды к = 3. Процесс этот
описывается уравнением вида
а3 + Oj (l + 6 Я Л-2ц)0'Osj f (3.21)
в котором вынуддаюцая сила зависит от .
235
После возбуждения кл = 1 возникает другой поток энергии, потому что (3.9)
удовлетворяется, помимо набора 9-9+11-II =0, еще и набором 9-1I+I+I = 0,
приводя таким образом к возбуждению моды
Аналогично, поскольку (3.9) удовлетворяется не только набором 13-13+11-11
=0, но и 13-1I-I-I = 0, через посредство возбуждается и мода к = 13 :
Для к = 13 дополнительно имеем 13-9-3-1 = 0. Поэтому мода
к =13 возбуждается также за счет взаимодействия с модами
к =9, к = 3 и k = I.
Таким образом, если в начале в цепочке с я = 16 возбуждена мода к0 = 11,
первой возбуждается мода к = 1 и затем последовательно возбуждаются моды
к = 3, 9 и 13. В дальнейшем энергия будет перетекать и к другим модам.
Однако энергия этих мод не может увеличиваться. Энергия моды может
увеличиваться только в том случае, если она находится в области
нестабильности. То есть энергия моды, которая может возбуждаться, будет
возрастать только тогда, когда удовлетворены два условия:
1) правила отбора,
2) условия неустойчивости.
Если для примера взять п = 16, кд = II, то начальное состо-
Это состояние сохраняется в течение некоторого времени, и (3.20 - 23)
есть уравнения Матье
к = 9 за счет взаимодействия с нормальной координатой a, s :
(3. J2)
яние есть с^й1 = О-
(3.29)
+ 2'c)a,K=0t
(3 21)
где
' Т = 2*2 ц
(3.26)
236
I л -2 2
"к и -ftk определяются как функции от Я а и ^ ^ из (3.26), что удойно
представить как точку пересечения двух прямых:
= [2f2/C3^a2)]A-l , (3'Я)
Jk=?'&* + (cok/vJi)2, (3'**>
где (3.27) определено, когда задана величина Я Л 2 , и прямая (3.28)
перемещается параллельно, когда изменяется к или cj к . Например, на рис.
3.1 изображен случай, когда
HO,Z=0,19f.
Рис. 3.1. Области устойчивости и неустойчивости (Саито и др. С 3.1]).
