Теория нелинейных решеток - Тода М.
Скачать (прямая ссылка):
функции V; (/ч).
Яятя^п s.r. Диалогично выкладкам в тексте покажите, что
[f4* > ]~ I- J ~
[/•я, й3,] = -4&('\/2/?)7 где йх=-2 сЖ (у/z/z).
5.2. ПЕРЕМЕННЫЕ ДЕЙСТВИЯ
Если перейти в систему координат, в которой Р = О, гамильтониан общей
системы будет задаваться с помощью (5.1.29> в виде
7СС/^Л 7 7 f* М-1 > Vi 7 • ¦ • 7 ^М-1
) " ^7 С^
где Е = -МРм-1. Согласно теории Гамильтона - Якоби, преобразуем
переменные ( А* . V; ) в переменные ( Л-1 , А^ ), где А<; "дня енредеиенн
в (5.1.27). Как обычно, введем производящую
206
функцию
У(рл > ¦" if*г-1 > Ро > Е> t ) =
=?(/*л > Ро >¦••> Рм-з > ?)~?t>
которая определена таким образов, что
%rrVi ('Л"4
il=лк (к-о,..., г-3),
Эрк
д? г
где положено Р".л = 0, так как V = 0. В общем случае каноничео-кое
преобразование с производящей функцией У переводит гамильтониан в К= Ж *
дУ/dt . Преобразование Гамильтона - Якоби (5.2.3а - Зв) таково, что
(S', г г)
(У. J. За.)
СУ. 2. За) Cf.j. зе)
эи
Tt
= 0.
СУ. С. 9)
эк
Таким образом, из последнего уравнения следует, что к = =0.
Поэтому J- k , сопряженная с Рк , также не зависит от времени. Подставляя
(5.2.3а) в (5.2.1), получаем
7? (Аг" • • • > /V- л >
3S
7 • ' • >
¦J-C
СУ / У)
что является уравнением Гамильтона - Якоби для ? . Сравнивая (5.2.3а) с
(5.1.41), видим, что
Д(/*. )± '/рУрТТУ
- \С; - Z'ltX.
поэтому $ распадается на сумму вида
3-Г. Si,
i*d
СУ-г. 6)
(У. У Гл.)
207
ГДв
40)* У/Л17^
й//<,
Г-Г. -?• ?/)
1гс
а &(/•) зависит от рв > ••• > Рм-г , если принять во внимание (5.1.27).
Далее, используя (5,2.3а) и (5.1.27), подучаем
У-Л Fl
dp
- = 2Е ( * J
<940)
у-л f'i
=2flZ ( о* i .
V*0)
a/*k
-<*p7
J/4
С s. 2. g)
я поэтому [ср. (4.6.31)?
У-Л
ik=2fllZ ,_________,
* ол v^TTTT
(k*0, 4, , м-s), (г.гэл..)
что подтверждает, что "2к ( к = 0, 1,..., Л'-З) постоянна. Кон-отантн J к
могут быть выбраны нулевыми, если соответствущим образом прибавить /з k к
. В частности, для к = /г-а.
as
Л д?
= о.
(S.2. 9J)
Возгону, используя (5.2.3), по^гчае* 3 0, и ~
постоянная, юторух можно положить равной нулю.
Импульс \Ji есть функция /4 я не зависит от других Ау (j * I); другими
словами, V/ взаимно независимы. Интегрируя по периоду, подучаем
переменную дойотвия [5.1, 2 ]
JL(p'>->P*-*)=f *i <2/4 =
*л
-м
Jf, (i=d, г, ,м-2)г
(у.г.йо)
где Лг1 g - функции ро > ••• > р/г-z , что следует из (5.1.22а).
Интегрирование в (5.2.10) производится в дадедах от * *4 *° ЛЦ+1 • 14
6") I г 2. Таким образом, при движении це-
почки происходит подвое разделение переменных.
208
Угловая переменная vs ? , сопряженная с переменней действия 1^ ,
определяется как
Если выбрать "*- к = 0 ( k = I Л'-г ), оказывается, что угловая
переменная имеет вид
^ JL dPjL.=Ii-t (s.*.**)
1 te dJ*
[если при этом учесть (5,2.4) и тот факт, что дам Е=~
Следовательно, д?/$J^ является частотой колебания, и если определить
период , то получим
Wt-t/U- (г-*.л)
Рассмотрим в качестве примера трехчастичную периодическую систему с
покоящейся частицей 71 = 2. Пусть в начальный момент времени ?г= О, Р3 =
-Рй и &=Qz = GLi=0, так что и
Л - iz^=a.i =1/2 при ? = 0. Поэтому имеем
t(%)=S Я ll-(6+84i)A ¦ (S.2.19)
Если все частицы покоятся, то = 0 и корни уравнения &(%) =
±Х есть + I и + 1/2. График А (а) симметричен относительно точки Я = 0,
когда 4г = 0, даже если €л / 0.
Из начальных данных известна полная энергия
Е = { + ¦ (**¦">
Таким образом, можно записать
Обозначая через Я2 и Я3 корни уравнения &(я) = 2, получаем пе-ременную
действия для /л, в виде
* 3 4 /Л) +
^ ^ у-
я2
•'209
Поэтому *
-lb ат*.
г , dta/\iaz-i dh / rc [
<Л = № ^-----г "77 = W\ "rF
* J dE 3 \'AZ-
¦<{
С S. г lg)
В этом случае Jz изменяется так же, так что cfj^ ~d~Jz . Следовательно,
сГ С =(дЕ/Э1Л)<Г^ * (dE/aj3_) = 2(d?/a^)tf'J^. Таким образом, период Т
задается выражением
д? / ?3 -Яй/Я
'J
Я.
Рассмотренное здесь движение очень простое, и его можно опи-оать
уравнением движения
-a 20L -= е - е
СУ 2. го)
dtX
Интегрируя его один раэ, получаем Отсвда получается период
"?+ da. __
Т = 2}
"¦ eadd___________=
= ^ J + {?+ ъ)е2а-1
а.
й/я:
J, \/2х}*СЕ+3)х-*-1
где Q. и Q, иди х_ и х? - нули знаменателя интегрируемой функции,
являющиеся точками поворота при колебаниях.
Легко можно доказать, что (5.2.19, 22) имеют одно и то же
(У, 2. 22)
210
значение. Фактически из (5.2.19) получаем МЛ
Г=У6\ . - .. - -Г =
\ Ы </ЛгЯ*-(?+$)]*-v
г~ 4(лх)
Z
Ьлг [2лг-(Е+з)/г]2-л
Если положить Ч=2лл-(?^)/2,
то
**
2> ~2 С ___________________,
j \18уъ4(Е+Ъ)ух-1 что совпадает с (5.2.22).
(S. г 2S)
С S. J Ы)
(S.zs)
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ А. МЕТОД СТИЛЬТЬЕСА ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ДРОБИ [АЛ]
Пусть у , - положительные постоянные. Рас-
смотрим ряд у, у ± , уг члены которого определяются урав-
нениями
I <ji=Fi#x+%} > (Ji.i)
' <] м-л ~ 1Гм /V
Перепишем последние уравнения:
3_- у , .. . , / ^
у ^ ^ г± у ^ 7
)^Гя+^7=Гг*л/~у7> (A.Z)
\1лЛ = 1Г .
Чм *"
Таким образом, ? /%s выражается в виде непрерывной дроби
4~ = Г + ------------------ • (Л- 3)
