Теория нелинейных решеток - Тода М.
Скачать (прямая ссылка):
jp(d - /з-периодом.
(9. j. if)
(9.J. 16)
(9.s.l2<f)
(</. 313)
150
Рис. 4.3. oL- и p-периоды ( ft =2).
Г#(Я)] 1)2 вещественна при 3 -> "о на вещественной оси. Таким образом, [R
( А ) ] является чисто мнимой между Л 2j + й. и Л 2j>2 на вещественной
оси,и, следовательно, коэффициенты с l-j чисто мнимые. Соответственно
являвтся чисто мни-
мыми ['отметим, что в некоторых книгах в правой части (4.3.15)
используется величина \/-i' сГj^ ]. Можно показать, что Г,= t:Z (см.
задачу в следупцем разделе). В соответствии с теоремой о вычетах сумма
вычетов обращается в нуль. Обозначим абелев дифференциал третьего рода с
вычетами I и -1 в точках Р и Q. соответственно через cj (Pt Q.) . Можно
добавить некоторые дифференциалы первого рода к дифференциалу третьего
рода, так чтобы j.-период обращался в нуль:
J tj(P,Q) = 0. (bJ.Jfa)
Тогда cj (р} Q ) называется нормированным дифференциалом третьего рода.
Дифференциал (4.3.10) (или (4.3.II)) можно выразить как линейную
комбинацию дифференциала второго рода SI, юрицованного
дифференциала третьего рода о (Р, Q) и нормированного дифференциала
первого рода cjj . Учитывая полвоа, (4.3.10) можно записать как
3 #
U(l;)=ii*l<bj(*°/, CX>)t TL (к), JU. (0)Jt J2, Cj (Jj , (tf.
j** J'-1
где Cj - некоторые комплексные числа.
В выражении (4.3.10), где определено о (к), ч(к+*,л)
151
- однозначная функция Л на римановой поверхности ? , поэтому
j ^(к)=2*ГГЬ1!у (9.3.19)
ч
^ и>(к)^2<тттг1 ? (9.i.2o)
Н г
где и - некоторые целые числа. Так как cj j ( к
ц , нормирован, так что
Jг
из (4.3.18) с учетом (4.3.15) получим
C.-2rrn-:l. (9.321)
6 <>
Следовательно, интеграл но /з^ от (4.3.18) дает
3 $
fcj ',"",)+? \ &j[/*j(l<),/';(0)]ЧЧ? rtj\ CJ.=
Pi j=1 J=1 h
-2тгт^1. (9.3.12)
С другой стороны, можно показать (см. следухщий раздел), что
ЪШ
f Cjfyuj (k).f/ J ' (f'J Mi
h Ъ
где 6J/ - нормированный дифференциал первого рода, определенный
соотношением (4.3.14); таким образом, (4.3.22) дает
л, (к) 2
CJ"=-T_ (bJ-H)
- J=1 /'j(t)
Хотя первое слагаемое в левой части равенства обращается в нуль при к =
0, второе слагаемое зависит от пути интегрирования и равно для к= 0
правой части, которая не зависит от к . Следо-
152
вательно,
fjik) Г 3 V" 3
и^Е иг^п, Ч '"г
i--* t Jsi
J'i °*>' f*c
U = i,¦?,¦¦¦,$), (t j и)
где ft c - некоторая произвольно выбранная фиксированная точка на
поверхности & . Это и есть требуемое соотношение между д (к) и (о). Если
значения заданы, а д М известны, то
правая часть равенства (4.3.25) - известная величина. Для того чтобы
подчеркнуть, что эта система уравнений действительно определяет ?
неизвестных, нахождение зависимостей /* (к) называют проблемой обращения
Якоби. В нашем случае находить каждую функцию /*j(k) нет необходимости,
достаточно вычислить ji,(к) в (4.3.32), чтобы выразить 4^ как функцию к
J;
4.4. ИНТЕГРАЛЫ НА РИМАНОВОИ ГОВЕРШОСТИ
Наша следующая задача - решение проблемы обращения Якоби, а так как она
связана с абелевыми дифференциалами, остановимся несколько подробнее на
них в данном разделе и рассмотрим некоторые теоремы [4.4]. Далее мы будем
часто использовать теорему Коши для односвязной области ?0 римановой
поверхности S ¦
Риманова поверхность В состоит из двух листов комплексной плоскости,
имеющих общую границу вдоль берегов рззрезов , лг ] ... . Рассмотрим
стереографическую проекцию двух комплексных 3-сфер на соответствующие
листы комплексной плоскости (рис. 4.4). Берегам разрезов будем
приписывать знаки плюс и минус: знак плюс соответствует положительной
части мнимой оси, а знак минус - отрицательной.
Перевернем одну из А-сфер так, чтобы соответствующие берега разрезов
находились друг под другом, причем берег разреза одной сферы, помеченный
знаком плюс (минус), под берегом разреза другой сферы, помеченным знаком
минус (плюс). Теперь можно раскрыть разрезы, соединить их берега д t- i
трубками и склеить (рис. 4.5).
Топологической деформацией данная атруктура может быть приведена к
поверхности, состоящей из ручек (трубок) и сферы, получившейся из двух
первоначальных сфер и трубки с берегами разрезов (рис. 4.6,а).
Далее разрежем и раскроем фигуру вдоль линий , 4 х , а, , ... и точку 0
на рис. 4.6,а. Таким образом, получим одно-
153
Нижнии.
лист
Рис. 4.4. Стереографическая проекция двух римановых листов.
Рис. 4.5. Топологическая карта римановой поверхности.
Рис. 4.6. Каноническое сечение (% -2).
связную область ?>0 , показанную на рис. 4.6,6. Обозначим границы этой
области наборами се t , -ё ± , cl ^ , -6 ± , аг t
а У , € j и приведем поверхность к плоской, т.е. к нормальной форме ...
ссу бу поверхности ?0 (рис. 4.7). В
данном случае наша риманова поверхность имеет род $ . ссл определяет путь
интегрирования d ± , ёi - путь интегрирования и т.д., л; определяет путь
интегрирования Л \ , который является обратным по отношению к
л ± - путь, обратный к
pi и т.д.
I. Пусть си и - дифференциалы с периодами ( Я; , В i )
154
Рис. 4.7. Нормальная форма (? =2).
