Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тода М. -> "Теория нелинейных решеток" -> 40

Теория нелинейных решеток - Тода М.

Тода М. Теория нелинейных решеток — Высшая школа, 1984. — 262 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaneleneynihreshetok1984.djvu
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 52 >> Следующая

Vj и .
Чтобы проверить это утверждение, подсчитаем скобки Пуассона
d&j. дйл
да± dPd + Эал ЪРг + Ъйо TVo
ЭДЛ df<t д/<л
~ 1р? 1а7 ~ ~дК ~ж7 ~ ТрГ
(У. 1,э)
где и А л - функции Рп и п г входящие через Соп и
( **- = 0, 1, 2). С помощью (4.8.12) и (4.8.18) получаем
Л = [4Z + 4С - ]/г,
л]/г
Di=' Я [fafa a't)/4i' fat 4 ^0)],
I hls-t[fat + aZ)/'* -fa^S^Jo)]?
и поэтому
f*z~ ?! =J(^Z~^o) + 1№'г ^
Л*,Дг ~ 4z 4C - coz ,
-/*2).
После некоторых вычислений получаем
ЩЦ = -л; Хд -р, )-(41-4. >(а) * а.) )]*
а также подобную формулу для УаГа
Тогда, отмечая, что я%=[е^[(ав-02)]}/^ и 42=PZ/2,
200
(S.l. 10)
(S.J. 11)
(У. 1. 12 со) (S. 1.12 6)
(6.1.12 g)
(У 1.12-V) (У. Л. И)
\ЖС д(&1) да с Ая-а*
Аналогично для производных имеем
ЭЛ
ML=-g[-a.Uf,-W^ (/<,-*.)] №± 1 0 ' >
ЭЬ 44 ^ - *
_ z[Ca0+(Ld)^~ ^ ^ угси6
dPz
ddz "L J' D' л-л
Ut
d?t
ЭДл " Г ^ / j> \ ^ Q'o (^o + & л )
(s у /у;
(f. j л)
М. 4 " A-Л J
Подставляя эта уравнения в (5.1.9), получаем
[Pi * Л J=2 [(ay-я, *)f*± + (а%49 - сьгд )]+
2
(Г. 1.1?)
Вели с помощью (5.1.12а) заметам, что р *=-(/< 2+{-?i+-4o)/2
то после использования (5.1.126) имеем '
+(л*40 - < /,)]+
+ П*Г*о)(ьг±+в'2о)+(/'1-/'±Ж-а'1)]-
L (s. i. лг)
Поэтому (5.1.14) дает
-уЛЯ'.
СХ. ^ 9)
Таким образом, отмечая тот факт, что 2 2. (ср. рис. 4.13) и вводя \1 ± с
помощью соотношения
= 2 сА* 1 (5.1.20)
лх. * w г (5.1.19) сводим к
В общем случав если <j- и -f> еоть сопряжвннне координата и импульс, a
i(г) - произвольная функция f>, то/t,+(r)]=d{(f>)/df>. Поэтому (5.1.21)
эквивалентно уравнению
[рй,М±]-1 (Г. 1.22*.)
и импульс , сопряженннй с рл (Ал задается выраке-
A±+\lLli-V (Xi. 2 J*)
Vj - 2 4*' 2
Аналогично импульс \) z , сопряжении# с рг(&х-~2-)) задает-
202
ся выражением
(S. л. jj<f)
Можно показать, что удовлетворяются соотношения
[/*:",/'J=/'v4 =
(S. й.Ш)
которые и должны выполняться для этих сопряженных переменных. Здесь )л
есть функция , не зависящая от , a - функция , не зависящая от /".,
.
Мы рассмотрели двухчастичные и трехчастичные системы. Можно
распространить результаты на многочастичную периодическую цепочку f5.2,
з]. Пусть Aj ( j = I, 2, Л') являются собствен-
ными значениями матрицы L* , задаваемой соотношением (4.1.28) для
периодической цепочки из Н частиц, или корнями уравнения
Поскольку Я ¦ являются корнями уравнения й (Л )= 2 , можно записать
(s: 1. 29)
Тогда оказывается, что полной энергией цепочки будет
? = -2 (4Л -г - - -
= ZSf (L*)X = 2 ? (*] )*¦
г
(S. 1. 2 S')
й(я)=/Г" Л fa-Aj
J1.
что можно переписать в.виде ряда по степеням Я :
ЛГяИЕ *J/3; •
(X. J. 2?)
J = 0
Коэффициенты fij не зависят от времени, потому что
& (л) не
203
зависит от времен*. В частности, та (5.1.26, 27) видно, что
(x*)J=-SrfL*j* (S'.*.**)
</*¦*
= - (Sd +4^ + ••¦ + ¦€#) = - ~2~P, где P есть полней импульс. Далее имеем
соотношение
= ±-pz-le (Х.з.лэ)
8 Ч Ь '
овяаанноа с полной энергией ? . Выберем для простоты систему координат, в
которой полный импульс равен нулю:
Р = 0, Р*-1 = 0- С г. *.зо)
Тогда получаем
Е = -*гЯр"-г- (S.*. г*)
Воспользуемся интерполяционной формулой Лагранжа
L
(S.Л. 32со)
где
m-i
pf/0=H (fi-/1)), (S.*. us)
чтобы получить f5.2]
tf-1 - *-*¦ " ... . . M
_ Рм-2^1 +"'+/5Р _ V-1 PFj /V
*ч/ч) ~k±
fXd. 3 3)
Отсвда, если правую часть последнего уравнения переписать, ис-польауя
(5.1.27) при Я =А? Гор" первее у равна ни* (5.1.28)3 ,
204
то подучим
е гуа)
Щ)И этом предполагалось, что отсутствует выровдение или A ij * Я 2j fj ,
так что существуют A 1 , где L меняется от L до t = Л'-Д. Если имеется
двойной корень (Яу =Ау = Яу^)1 требуется специальное рассмотрение. В
принципе можно предположить, что все вырождения сняты некоторым малым
возмущением.
Если у нечетно (четно) и L нечетно (четно), то &(/<; ) больне 2, в
противном случае меньие -2. Учитывая это, запишем
20. -у ГЛ1.,г>
и, используя (5.1.34), определим функцию от ( А2 . ^ ) соотношением
^ 2сА(Я г /Л)*/**
j------------^'4
Показано, что если рассматривать v*t как импульс, сопряженный с /|; , а в
качестве канонического уравнения движения взять
дЖ
м. ^ --, гутд
то оно действительно совпадает с уравнением движения для А2 • Таким
образом, есть гамильтониан системы. Тогда с помощью
(5.1.36) из (5.1.37) получаем
*¦/fl (~i) з-А- / Z,) (S~.J. 18)
Л- " рГд, j
С другой стороны, (5.1.35) дает
~i
(-±fL
205
Такт образом, видно, что (5.1.38) дает точно уравнены движения (4.6.27)
для f*i , нлж
2ДУйгС^;)-^'
л' (pi-fi*)
к* с
Cs.i. to)
Далее, использование (5.1.35) показывает, что выражение для Ж
(5.1.36) совпадает с энергией Е (5.1.34). Итак, Ж('>, v) из (5.1.36)
есть гамильтониан системы, а ^ и At- являются сопряженными переменными. С
помощью (5.1.39, 35) нежно записать
V/. - 2 ^п-
где выбирается знак плюс для нечетных (четных) L и знак минус для четных
(нечетных) L , когда * нечетно (четно). является функцией от At и не
зависит от других ( j * i ). Когда
заданы начальные условия, определена функция 4 (я), и поэтому существуют
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 52 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed