Теория нелинейных решеток - Тода М.
Скачать (прямая ссылка):
9 /-
Кел{^] = - Е о Г-;-с ] (9-9. 96*)
?t
На нижнем листе у/? С Я) имеет другой знак, поэтому
к^{~'1=ф %Г1^ ^ rfuc^'j-г]. (t.t. KS)
165
Следовательно, (4.4.39, 40) даго нам
3 3 г 3 у [и (~>)-с]
г я (fj)-C 1 ***¦? c(iri*< U ) g]
г1 ? J
ы Г р[и (->')-?]
(9. 9. 91)
Задача 4.2. Покажите, что Zjk -Ь kj • ЙйШЩВаь Используйте (4.4.7).
4.5. РЕШВНИЕ ПРОЕПШ ОБРАЩЕНИЯ ЯКОБИ Пусть
? ",")¦)(/.
тогда, как следует из (4.4.38а),
(9. Г. J)
L/J 7
J
где дается (4.4.21а). Следовательно, для заданных X? решение проблемы
обращения Якоби
3 Р
Е \ <*¦**>
дается через нули Р* , Рл , ..., Pj функции
где ? определено соотношением (4.5.2). Уравнение (4.3.25) можно записать
в виде
, /'j(k)
Следовательно, если последний член (4.5.2) включен в (^К т.е. в третий
член правой части (4.5.5), (к), ('к)}...
..., pj (к) определяются как значения Я в нулях Pj ( j = I, 2, .... / )
функции ir[U(Pj -5?(к)-ЙJ, т.е.
/,j=*(pJ)- (M-t)
Таким образом, используя (4.4.47), имеем
3 I [ I n , V[u(~)-X-X.]
% h' (k>'h I е 'к
(9.S. 7)
и, , С с^>) - Х^ - ]<? - кслч-с!1? ( к. s.<?)
и тогда, с учетом (4.5.5) можем записать
где
с,=\ ;
( к У. 9
°° /<j (о) у
j,*-b [ и*~К*'
* i ' i-л
Js* J J Л
ro
Из-за периодичности (4.4Л8) функции IP вторым и третьим членами в можно
пренебречь. Далее,
Следовательно,
3 > Г Д ,, , t(kc,d)
Z Л/*¦•> = *- MVf СА)Ч ^ ,?r" )-J; 1
:. v J /=i /--Д J V[ IKfl )c, t d J
"//
(f-s-.jj)
где первый член в правой части есть постоянная. Подставив (4.5.11) в
(4.2.32а), окончательно получим
г* p(kc+d)
I - U'ni t - 2Z ч-l ~7 -*¦ *>7 ' ^
^ Т? [(к-и)сч-ы]
4.6. ВРЕМЕННАЯ ЭВОЛЮЦИЯ
Уравнения движения цепочки
Q. Л ? (к. 6.1)
-( Gt ПФй-Qn)
I п я
Р = € - е
могут быть записаны в виде
^ Лги (^п'^пи ),
где
¦f 2 ~(r)П ") /% 0 /
'n~Z
С к. 6. 2)
а -7е ,
168
Мы можем также переписать их:
i = 8L-LB} (9. ?.9)
где, по определению,
'(Вч)п ~=-°"п 'Г(п+*)+а"пч
(9.6.S)
[(М^^ Ч('П')+0'гг_лч(п-л).
НЯ.ТГПЖИМ также условия периодичности
П -О Р - р fп - - • • • j ***) (9.(.&)
Ип(.у и1ъ > Гп+/Г п 1 ? >
которые означают, что П -р'*'
Я-П •
к=х
Рассмотрим функции (п=-<=*=> с^>) | кото-
рые удовлетворяют (4.1.3) или уравнению с не зависящим от времени
параметром Я :
1Ч>=*Ч>7
Я = 0. (M-XS)
Дифференцируя (4.6.8а) по времени, получаем
14+ I f =ЯУ'. (9. ?.9)
Если мы вычтем из данного уравнения (4.6.4), умноженное на у> , получим
l(tf-&4>) = 2(^-Bi4l). (9.6. jo)
160
Данное равенство имеет вид такой хе, как (4.6.8а), поэтому, если f j и
4*1 - фундаментальные решения (4.6.8а), то - 8 Y t
и в Yz представляются в виде линейных комбинаций Yj
и , например,
(4'd-34'i)n =*L4i((tm))+/14'z('>T')') (</.6,Ла.)
здесь Jl ш /ъ - некоторые константы. (Аналогичные соображения могли быть
использованы в разд. 3.2 для бесконечной цепочки. Но поскольку мы
предполагали, что цепочка покоится на бесконечности, то из (3.2.8)
следует f -> %±п' при гь -> *=•= , что приводит к J. =/з
=о.) Положим п-о и n=i в формулах
(4.6.8а, 11а) и воспользуемся условиями ул(0) = 1, Yd(i) = 0> if (о)=0
Yz(i) = 1 ¦ Таким образом, получим
' (LYj )в =4^-* Ъ
(? <f. JJcf)
и, следовательно,
Таким образом, (4.6.11a) дает tf (тг)=~&'TV У± (tn--t)tfc'-n-ifi
( 9.6.J3)
Подобным образом
(n) ** (rt)> f
так что
170
(LVX)S =Cij 4>z (2) + 4ff=*,
(B4>x)e =0-0'^ *г (~1) = ^7
-(BV2), -а-л 4>z(z)=p I
и, следовательно,
l = 2ct0 , Д=Я-/". (f-( Js-)
Из соотношения (4.6.14a) получим
(f (n)=-a,7V ч>г (nti)^con.1l?lz(-n-i)+2a.c^J_(n-)+(x--g0)^(^). (9.6. U)
Продифференцируем по времени равенство
Ш) = ГЛ(М) + У*(М+*)
и воспользуемся периодическими граничными условиями; тогда Ь(Л)^Ч>л
(М)+?г (***) =
-а ^ (м)+2а-^ Vi (2r+±)+(2-SM)Vz (r+*) =
Следовательно,
й (*) = 0> (i.i-19)
т.е. А(л) не зависит от времени.
Теперь положим п = s^+ 1 в соотношениях (4.6.5, 13), тогда
171
<Ьг (A'+Z)+4i Vi (Vfi (A fZ)7
) ({.S.JO)
jifd (Ati)=-a1 ъ (M+z)iaQ4A (м)+(40-я)*л (A'+i)-2ne^ (/m). Исключая 'fi
(ft'+z) получаем
у (л'и)-2ав*й (#)+(-6е+*г2*)** (г+*)-2&,*я (ми).
(<f. 6. ZJ)
Дополнительный спектр /> определен уравнением <fj (а + р) = 0.
Следовательно, используя (4.1.41), имеем
У (М+й, Я )1 ^2<ЬС (М+1}/<)] =
-* Л'~ N
=*?&с (if. 4, л)
здесь мы воспользовались также соотношением (4.1.30). Правую часть
равенства можно переписать в виде
vW*)V = й~*й (я)&(*)\ (М.гзл)
где
A-i 2Э + г
а(я)=л [*-п("<^-V- (ы-м) 4=yz * J=1
С другой стороны,
_у >
if (A'+l, z)=-<zo Я Л [st-ffj (0)]& (я). (9.6.2$)
Г*
В случае -Iг.д *¦ 1 (о) = являются пос-
тоянными. Следовательно, если продифференцировать (4.6.24) по времени,
сохранив Я постоянной, то получится
172
'f, (h'+i, z) = R~:ta0 o (*)IL А- (о) Л / a-/*j (p)]~
J-* **j
-а,вЯ'ла(л)П
Теперь устремим Я ->/*к (0) и получим
[Г**"'*!"].
С1! 6 26)
Приравняем (4.6.22) и (4.6.26), тогда с учетом (4.6.23а)
ftK (0) = i2s/k[f<K (о)] У П ' [рК (о)-/<г (о)] (9(21)
-С* к
Вернемся теперь к (4.5.9) и выясним вопрос о скорости изменения во
времени J^ , которая,как оказывается, имеет вид
/si
