Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тода М. -> "Теория нелинейных решеток" -> 38

Теория нелинейных решеток - Тода М.

Тода М. Теория нелинейных решеток — Высшая школа, 1984. — 262 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaneleneynihreshetok1984.djvu
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 52 >> Следующая

К(х') = ?к(*>'&'-?- (ММ)
186
и записать (4.7.13) в виде
Л Гу) )
откуда следует
(i-f-b
т.е.
к -г Г 9. У. 9 s')
аг = -•
Так как мы предполагали, что fr/м 4, сравнивая (4.7.20)
и (4.7.35), можно проверить справедливость (4.7.48). Таким образом, при
малых к из (4.7.17) имеем
?"/ - )2> С 9. 199)
а мнимое преобразование при малых ^ имеет вид
К {) К(к)
Величину v в аргументе можно представить как
(с -Я *L=iJL 1 ~ L К(к)
I о у /У K(az') МК(к') '
^ _ (9. 7. S3)
\-l7- -пс ± -pt + ,
где мы использовали то обстоятельство, что в выражении (4.7.46) Т± может
быть опущено, так как соответствухщие слагаемые не
вносят вклада в
tv [29rf:y-^/i)h<f] +
+ (Члены, линейные no vz)',
(9. 7. S2)
187
здесь V и сГ - некоторые постоянные (см. (4.6.42 , 43)). Таким образом,
u =-к2([2*(у ¦ w'
Г 4, у. з'з;
что согласуется с исходным выражением (4.7.20).
Для солитонного решения имеем собственное значение А' т.е. связанное
состояние. Кноидальная волна есть последовательность ' солитонов с равным
интервалом. В случае когда модуль к близок к единице, кноидальная волна
состоит из солитонов с различными амплитудами и очень узкой зоной,
лежащей ниже непрерывного спектра. Так как данная ситуация аналогична
случаю солитонов в бесконечной цепочке, соответствующий спектр цепочки
представляет собой зону, лежащую при л (если волна распространяется
влево, имеем ). С другой стороны, если модуль к
мал, кноидальная волна близка к синусоидальной волне, и, как видно из
соотношения (4.7.28), спектральная зона расположена в области А ~ d .
Если модуль кноидальной волны возрастает вплоть до к " 4 , область
неустойчивости уравнения Матье смещается к g- ^ 0 . Хотя
использованное выше приближение неприменимо при
стремлении модуля к к единице, понятно, что облаоть неустойчивости
спектра цепочки смещается к / д I ^ j. На рис. 4.2 кривая изображает
зависимость диокриминанта А (Л) от величины А, область неустойчивости
{йх^Ч) при |я| ; i соответствуют солитонам, а области неустойчивости с -
d* л d соответствуют волнам, подобным ряби на воде или полю излучения.
Такое поведение А( А) было численно исследовано Флашкой с соавторами,
которые показали, что в случае периодической волны j -гармоника растет в
области экстремума с номером J. кривой АС А) в зависимости от А (который
может быть "пиком" или "впадиной")9. Этот результат можно понять
следующим образом.
Рассмотрим сначала цепочку в состоянии покоя. Тогда из (4.1.23 , 24)
имеем Л ГЯ) -2 ^ ^ Я - , так что
корни уравнения А (Л) = ± 2; т.е. позиции "пиков" и "впа-
^ Скорее суперпозиция, как зто видно из (2.3.8а). - Прим. перев.
Z) <г0 есть локальным максимумом или минимумом. - Прим. перев.
188
дан , определяются как
а собственное' значение с номером ? есть
А(1) ^ м
Теперь будем ошснвать синусоидальную волну малой амплитуды в приближении
КдВ, полагая, что волна распространяется вправо. В соответствии с
(3.11.6) связь между полем волны w, описываемым уравнением КдВ и
смещением депочки Qn, определяется выражением
UL (п, Ь)~ 2 1 ^ (i)** 2- (О. Q к ) ¦ (9.9. S6)
Если мы запишем j-ю гармонику волны в начальный момент как
4 ton.
--j (9-?. г?)
Л
то уравнение для собственных значений ЛгЧ> / (КдВ) \
-- + ('* -и)Ч-0 (9.9. ж)
dn прим*
4?l. + (crtfcixk=0} (*¦*¦")
примет вид
J2
dl
где
i2WTv / ук (КдВ) / /к )2
я >
(9. Л (о)
Границы областей устойчивости и неустойчивости данного уравнения Матье
есть
d d.
д~*07 (9.9.61)
189
а соответствуйте границ" для уравнения КдВ -я(-)вв> ?*>"(11$,*.''. аьа)
(КдВ)
Так как связь мевду спектром уравнения КдВ Я и спектром депочки Я (в
случае волн, распространяющихся вправо) имеет вид
границы (включая границы щели) спектра цепочки определяются как
К)**,
+ jff J 'УЫ, (jfr/M)
(j> Ч j77/*'
Отсюда видно, что область неустойчивости лежит в окрестности / -го
экстремума ("пика" или "впадины") функции )
(рис. 4ЛЗ).
То же самое можно сказать про j -ю гармошку волны, распространяющуюся
влево: если амплитуда волны малая, то в окрестности J -го экстремума й(л)
находится область неустойчивости
Задача 4.3. Проверьте (4.7.14), используя формулы1^
\ ПЕЛЕНГ, к],
J/Г (c-fux-л) J
убГ <?
где модуль к определяется из
, (с-4)(4-Аг)
к =
(d-4) С с- cl)
Здесь символом <У'гь л обозначена функция, обратная эллиптической функции
Якоби о tv. - Прим. перев.
190
Рис. 4.13. Область неустойчивости j -и гармоники волны малой амшштуда [й
(2) * 2 ],
и
X

(d-c)(x-€)
здесь модуль к ' = \ji~ kz }
X = (oc-d)(x-c)(x-4)(x-cc)7
Н = l/\[(<d-4)(c-ct) \
d с > -тг <х-.
4.8. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ИЗ ТРЕХ ЧАСТИЦ
Случай системы из трех частиц представляет интерес, поскольку зто
простейший случай системы, проявляицей почти все характерные особенности
системы многих частиц. Поэтому мы рассмотрим эту систему детально.
Определим оначала фундаментальные решения ^ и как
(4t(0) = i, Чл(1)=07
i (Ь*.л)
4>z (о)= 07 Г2 =
Наложим периодические граничные условия
191
Тогда получим уравнения для '/>= и
Г а0 ч,(о)+4±Ч>(1)+0'1 ч>(г)~ъч>(1),
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 52 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed