Теория нелинейных решеток - Тода М.
Скачать (прямая ссылка):
Л=Л 1е)
2 . fC^3/ff(e,t)
= -Е ?:(0,Ь)^=Ь=_ -7-- •
В правой части последнего равенства, используя (4.6.27), можно записать
=27:
A (C,t)
- 'J ___________
(0,t) i-t П'fyjfyD-foM]
(9 6 29)
173
данное выражение можно упростить при помощи интерполяционной формулы
Лагранжа (см. приложение Д):
9 X4 (о (4*?-*),
У J = f (9.4. jo)
н П' (ХГХ() л ( }
6 t(tjH v *
Полагая Xj = рj (0, b)) из (4.6.29, 30) имеем
hs (o,t) / 0
? -1 J- =< ('f.i.iи)
j = t (0,^)] I Z (1=J-4).
Уравнения (4.6.27, 31) впервые были получены в работе Каца и Ван Мёрбехе
[4.2]. Подставляя (4.6.31) в (4.6.28),имеем
dt (i)=~2c? д _1 7 (9.4.52)
иди
dl(t)-c(t (0)-2c^tlt. (9.4. S3)
Таким образом, используя (4.6.33), мы можем записать (4.5.12) в виде
, р [пс + d (6 ) ]
X (2) ~ ~~ 2--* С s q -1 / -> -* 7 }
K 1 1 d[(n+ijc+d(t)]
(9. 6.S9)
где в соответствии с (4.6.33)
2 с L = - * (9л-Js')
Tax как 4^= окончательно получим
174
л - л р rfnT-1't+d-')
(Ь)=?0 + -гг4п , (9.6.J6)
<tt #[(ъ+1)7-с'-б<7 7
_ . If (tic-с '? +с?')
где -Р^, ж йп - некоторые постоянные. Эти результаты впервые были
получены Дейтоы и Танакой [4.3]. В данный выражениях
со
и~\ at> с'{=г%Г1 ¦
ЛЭ /
a ? dg ) - фазовые постоянные, определяемые из
начальных условий, с^, с ^ - чисто мнимые величины, как
видно из конкретного примера - кноидальной волны, которая рассматривается
в следулцем разделе. По определению с^ и выража-
ются через Я,* , Ял ,..., Лg , и поэтому их можно найти из нат-чальных
условий.
Далее, мы можем записать
п = < -< (9.6. ля)
Ы ъ &<тъ ?
где
< = />•&. t(nc-c'itd'). (ы.*е)
** ft-
Здесь / может быть функцией п. и t, но она должна удовлетворять некоторым
условиям, наложенным на . Например, может быть
j =f(t)+-nP0 + (9.6.91)
где -f (-L) зависит лишь от ~Ь , а В - постоянная,
175
Как ухе отмечалось, коэффициенты с^ к ъ cjс мнимые, так хе как ж .
Поэтом; ¦&" -функция в (4.6.40) имеет мнимый аргумент. В этом случае Zjk
также чисто мнимые. Воспользуемся мнимым преобразованием Якоби, применив
его к многомерной iF-функции (см. приложение Е):
if*
/v -fJ(- ОС ' С ОС- . ^ . -.У \
f('ult) = - -a uj-z ), (t.i.v)
где \t\ = detV, a t~- 1 - матрица, обратная Z; мы можем переписать
(4.6.40) через функцию действительного аргумента, так что
t(xn-pt +сГ I -T'J )} f 9.6. 93)
где F есть некоторая функция, аналогичная функции / в (4.6.41), а х, р и
<Г - вещественные постоянные с g компонентами такие, что
X.=Z ~sc} d-Z'^S'. (9.6.99)
4.7. ПРОСТОЙ ПРИМЕР (КНОИДАЛЬНАЯ ВОЛНА)
I. Применим результаты, полученные в предыдущих разделах к простейшему
случаю, когда ^ =1. Рассмотрим четыре корня, удовлетворяющие условиям
* j * Я, , >¦*>
и соответствующие разрезы и [Я3,А<,] (Рис* 4.9).
В данном случае абелев дифференциал имеет вид
с0 с!л
СО = -- -------_-тг=г ^ (9. /.г)
у/ГЯ-Я, )(Я-АЛ )(Л-Л з)(*-Л н)
где с0 - постоянная. Введем О -период (4.3.15) и р -период
176
1= cj=2
c0 dz
"i
h-
L)=Z
v''(Я-A i)(A-Aj.)(2-A s)( А -Л */
__________ C0dA____________
j(А-АЛСА-ЛгХЛ -A3)(A-A9)'
Рис. 4.9. Случай кноидальной волны.
, (9. f. i)
¦ (9. f. 9)
Как принято в теории эллиптических интегралов, сделаем линейное
преобразование
"to 9 /з Я ----------------->
АсГ - /5
*сГ ^ ~ ЛГ
где J. , /3, f и J - постоянные. Получим
d'i
(9. 9. У)
где
Яп =
'((l-l/O! )(1-4/1г){4-Э/13)С1-4/19)
ЫсГ-рг)с0 \((р-ЛлУ)(/5 А2сГ)(р-А }cT)(/i-A v dj Aid~-p
------ у ^ - ¦ }
"L-hf <*- f
Abd-p> A^d - fi
J. - A $ ^ J. - Я,
г " (*¦ *-1)
(9. / ?)
X9f
177
Введем постоянную зе, такую, что эе ^ ± , и пусть
^="^' Чг="^ ^3=d> *у=-?-
Можно разрешить написанную выше систему из четырех уравнений относительно
/3, f , сГ и <эе , полагая Л = 1. В частности, X удовлетворяет уравнению
2 " Г, 2frz-*u)av-*3) ] ^ л
х - 2 \ 1- -----------------------jxti=0> С1/.! 3)
(Л*-Ях)(Яз-Ял) ]
откуда видно, что один из корней, как. и ожидалось, меньше единицы.
Таким образом,
Г V ^
1-j cj 2 Д0 j '
J i
с/б
\/С')'г-1)С i-ле2 з* )' i
--2L Д0К (х ')> f*. Г. jo)
где К (х') - полный эллиптический интеграл первого рода с модулем х ' =
21 - Далее шеей
* , p -4
Следовательно,
Ввт i/2K (*'),
tx = 12К(эе)/К(зе').
Так как при изменении X от нуля до единицы функция
178
2К(х)/К(х') ионотонно изменяется от 0 до , можно
ввести новый модуль к , записав
2К(х) _ К (k) ? J3)
К(х') ~ К (к')
где к ' = \ 1 - к z ¦ введем также
• К <Ь)
Z = L--------------------- (*¦
* К(к')
В данном случае ч г^-функция Римана сводится к
эллиптической ^функции tPi , которую можно выразить через if0 ,
так как (v)= (i/n/z) . йаеем
1 , i-Г тг jfjirmr
1?J(trlT*)=lt'3(v-;f'i) = 2Z е ,
где
-чт К (к)/К (к') (9-7.if<f)
*=е
Используя мнимое преобразование Якоби для [4.5j;
можно выразить решения (4.6.34 - 40) через функцию iPj с пара метром
-пк(к')/К(к) - .
р = е <9 f-
Решение представим в виде
<* =f(l)+nP0 ti-Bn2+4i (Г-?-!?;
** n,
где Sf есть длина волны, a V - частота. Уравнение (4.7.1
описывает кноидальную волну в цепочке (2.3.10) [1% (x)=-\?'i (х
+2/2)]; вид этой водны изображен на рис. 4.10.
