Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тода М. -> "Теория нелинейных решеток" -> 34

Теория нелинейных решеток - Тода М.

Тода М. Теория нелинейных решеток — Высшая школа, 1984. — 262 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaneleneynihreshetok1984.djvu
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 52 >> Следующая

и (/9/ , в'с ) ( L = I, 2, ..., д )
^ и = Ri , ( w = г
Pi ('f.t.d)
)!¦";', 1 •
Pi
Пусть точка <? на линии соответствует точке О- на
(2, .. (рис. 4.8,а)? и пусть
цЛЛ.
Тогда
W =
( ^ = А ' J 'J )'
Uo СО' о'в'/
= J d{ = \ Л =&i ' CCS Pi
ft; - i (в') ~/ГС );
ГS'. 3J
здесь
jjf-j
ao a'fi' Аналогично
155
Рис. 4.В. Пути интегрирования.
где'точка R на линии в • соответствует точке Я на линии ¦ .
Теперь, поскольку j(Q') = f (&) + &? и поскольку дифференциалы
l(Q')~ -4(0.) (9.9.S)
и т.д., имеем
Следовательно,
Jj h JJ
=-Pj I * + pi i ? Pi
= /? /в: -s /?'.
d <j d J
P,
( 9- 9. 6) (9. 9, i)
¦ i -l
где контур С охватывает многоугольник а г ¦ • • ct ^ Р $ • Пусть со = df
= со сесть дифференциал первого рода, а ъ - со L 33 - дифференциал
третьего рода, и предположим, что ю rjJ имеет полюса Р^ с вычетами ( 4 -
1,2 w ).
156
Тогда с помощью интегральней теоремы Коши получим
в ч
у (R.s:-B./)')Afunj^niE {(р*)сг-=
<> j j j t {*1
J*d - P'1 faj
= 2fri P, C^ ( cj (<r, c.t)
1 J
V
rc
где P0 - течка поверхности ?0 Pi p?
C U CJ
¦p p
rc 0
nj
Далее, пусть cj - нормированный дифференциал, такой;чтс
в'. - 0 (для всех j ), (9. у. 9)
J си
и w = ^ к - нормированный дифференциал первого рода (4.3.15), такей^чте
*/=5 (<r.9.JO)
Далее, как следует из (4.4.8),
Ъ
в'^2ШЦсЛ cjk , (*^U)
К Pi р
гс
•7П 4'
т y: d [ ^
Pk Po
f иС^3 = ini У, Cl ) Pi
Если <J CZ] имеет полюса в P CP)] с вычетом С^ = I и в CL[=pj (о)] с
вычетом С& ~-±, тс (4.4.12)
157
сводится к
1 ""WjVM
К К 3 /
иди к
Q
что доказывает (4.3.23).
П. Определим многомерную ^-функцию ( ^функцию Римана)
"" / f &
(и.) - И еярЬтЕ. 'm.'Ar.tniTL Zjk
7ПХ 771-г-"0 1 </-'* J,*'1
т. т I, J к}'
или
(*¦?.* Га,)
1T(U) = Z *хр(2Ш гЯ-И + Ш тЯ-Т ¦ (tm))} (".v.irs)
где w и w - векторы, а гг - матрица:
*= : b (tm)~\ :
'ГП ,
Z -
' 13,
'33
(4. 9. и)
Удобно ввести обозначения
"*ек =
и к +
k + l
и-,
(4.4.11л.)
158
и. + z =
к
'"л + tik'
uk t V kk
и , t Г ,
3
(S'- 9. nj)
Легко видеть, что P(u*ek
I t r 4 -2fJiu -rtiZkkV'(uL), f(u+Vk)=e K
( 9. <f. lg)
Последнее равенство получено заменой т на т к + ± . Если
:ввести
Г(и) = 1^(и-с)7 (9. ч 19 а.)

где с - постоянный вектор,
41/
то
(9.9,196)
(г('2<ек) = Г<'"<>,
-?Ш(ик-сK)~Wi ?Kk ................
f(u+zK) = e rf"}> (*¦*.*>)
159
Теперь пусть Р
U;(P)= j Ы; > (Ын*)
Ро
ИЛИ
-1 *
г Г) - Т\ С ' , (Ь-
где Р - точка римановой поверхности. Далее, запишем F в данном случае
{( р)_- F [и (P)-c]t
и пусть Р - нули / РР,Р
J
-f (Pj )~0. ( *• 9. Л)
I. В окрестности Р имеем
О
/-&xf> d&)} JV/// = i
Следовательно, для контура С вдоль границы ?е интеграл
у ( М
п(п = Ж)'Т (
с
дает число нулей Р; .
т, *¦ "_
Пусть и- и и.. - значения в соответствующих точках на <2. к. и сс к или
на 4К и 4 к . Если .Р находится на а, к
(рис. 4.8), то
+ ( г > - и. ^ /¦ Т • (t-b. JJ')
Uj = Uj +J * ~ J J
Px
160
z
, -2 fli (u X ~ c к ) Я c c k-kr , +
f (u + / ,
-2ni(u-к'с к)-ПсТ +
dj =e (df -2ntf du,
Аналогично, если P находится на /к , то
^:=tvJ CJj=u]'JjK
"i "
f = j (u+-e.K) = { . Далее,
df~ d* +
Г ' / +
dr df + r " /+
2 П i ь) к на <X K }
на
<к •
Следовательно, (4.4.24) дает
2nc ы Wk Pk / \ f f
* ? ,"c \ uK =
¦<r,c k=i
-XI
k=i
(4. t. U) (9. 4. 13)
(*. 4.
(<r. v. joj
4. 31)
161
Таким образом, число нулей Р¦ функции j(Р) равно роду поверхности ^ .
1У. Так как Pj - нули / ( Р) , можно записать
Wf- п-'-и)
jsi с
Используя (4.4.25, 26, 30), перепишем интеграл в правой части (4.4.32)
как
-г 1
к" 1
Д Г f * df* f + j- \ df* J _
+E J f* J
Pk
L, r r7 - f
= ГЛ J L*l< J / +
9 С <¦ f df* (9. 9. j s)
J Г '
? f "<4'I
Ck) (k)
Выберем на J k начальную точку Sc и конечную точку Q. л ; тогда, согласно
(4.4.20),
{*[*(&?')]=* *[u'f(*ok')i'е*]=f *[и(&ГУ/ (9. 9. J9)
162
Следовательно,
°iss>
Jk
-Ik)
Аналогично, выдрав на pi начальную точку Ц-с и конечную точку &(к) ,
имеем
-^f('2irL[u(GL(f))-c-lYfrtZ-{?]f lu(&o )]f ('г.ч.и)
так что
Таким образом, используя (4.4.32 , 33), получаем очень важную формулу
т:*ч(ъ)-ч-к<ф/<к.
г1
где К ? - постоянная, определяемая из
jf,*-? J )- (Ь-ь-!**)
У. Рассмотрим интеграл j д . С помощью (4.4.30) полу-
чим
163
Jt {itirJ-tfS 'S j
2f!i J / /г-j 1^K pKj ( / / / a-.-j ^
С
Г *¦ *. J?/)
С другой стороны, вычисляя вычеты, имеем
-?- \tk^-^YL Я (Fi ) + {<*=>] <¦ Re-ijeo 'I (9.9.9с)
2niJf J ( >
С Jzl
где Я (Pj ) есть значение Я в нулях Рj j(p)= [и- (Р-2)] . Вычет на
бесконечности /<*=> j
можно вычислить следующим образом.
Пусть = л ; тогда
- ( ЯШ J
Заметив, что направление интегрирования по ^ обратно направлению
интегрирования по я > имеем
Х = 0. (9. v. w;
Однако поскольку г//d%=-(i / %z)d/dЯ} то, используя
обозначение
ди.
(9.9 93)
164
на верхнем листе, для малых ^ имеем
*(*- с=>
dX ? г-i
= -~L Е с -~=^Di А Г(й-?) =
lZ (,! j,0 УШУ
1Л"АГ-А*^
Г л* у л (*-*j)
?-1
Таким образом, ^
я г(и-г)=-?""- j р <4,^ ^ 4 ^'СЛ
С9. 9. 9У)
а вычет на бесконечности определяется выражением (4.4.42) как
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 52 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed