Теория нелинейных решеток - Тода М.
Скачать (прямая ссылка):
179
Рис. 4.10. Солитон в периодической системе (кноидальная волна).
П. Проверим некоторые результаты этой главы для кноидальной волны малой
амплитуды. В этом случае используем континуальное приближение, т.е.
уравнение Кортевега - де Вриза (КдВ). В указанном приближении волна может
быть описана посредством
(X- - А* } ''71 W П-t-l W 7Z.
Выразим длину кноидальной волны через число частиц, и пусть оно равно JV
. Предположим, что модуль к достаточно мал, так что волна изначально
имеет синусоидальную форму
x0=~uj2kz = k2^x -у- (*-*-го)
Напомним, что в соответствии с (3.11.23) континуальный аналог уравнении
есть уравнение КдВ, т.е.
071
В случае синусоидальной волны данное уравнение сводится к урав-
*яп
нению Матье [4.&]
^^r+CeT-te со* z)<f=0. dlz
Здесь положено
2'fi-n-
С 9- J- з-г)
С 9-г. is)
(период по 1 равен 2тг ) и введены обозначения
•r-iwf*(tm) "(??'•¦
Для малых ( границы областей устойчивости и неустойчивости уравнения
Матье (4.7.22) определяются соотношениями
С9-9.ХГ)
и щель имеется в окрестности сГ~ 1/4 (пис. 4.II,а). Если переписать
уравнения1 этих границ через Я(КДВ) функцию от ?0-> получим (рис. 4.И,б)
"0W.4 г 1.(
(КДВ)
( (КдВ)
Связь Л ГР
, (КдВ)
(9.1.М)
и спектра цепочки л(L у = Л ч>)
соотношением
-------- ' ' - М415ЫЧ/-МЫ1 'М - / '• ' * ДЛЯ ВОДЕ|
распространявдихся вправо, определяется
(9.1.г?)
to
1ЯЧй)'-г- ¦
И О в
Рис. 4.11. Области неустойчивости и щели уравнения Матье.
181
Следовательно, границы областей устойчивости спектра цепочки (рис. 4.И,в)
определяются соотношениями
Щель шириной порядка ?0 /<2 и узкий участок спектра (разрешенная зона)
над ним, в котором я меняется от я * sico'i(rn/*') до Л~ 1 определяются
кноидальной волной. Уравнение КдВ описывает лишь волны,
распространяющиеся в одном направлении, следовательно, если волны,
распространяющиеся вправо, мы описываем уравнением КдВ, то окрестность
точки я ~ i , соответствующая волнам, распространяющимся влево, не
рассматривается. Если рассматриваются волны в цепочке, распространяющиеся
влево, то граница мезду областями устойчивости и неустойчивости находится
в окрестности я " -1.
Если в уравнении (4.7.21) it = 0, собственные функции имеют
вид
Предполагая для простоты, что в континуальном приближении U/унормируем
собственную функцию следующим образом:
почки, собственные значения, вычисленные в первом порядке теории
(9. f.
чт
if(tu) =С 3**- -у " 7
(9. /. 19)
= i
>
(9. /¦ и>)
Для потенциала (4.7.20) с аргументом, смещенным на к точек це-
182
возмущений, имею вид
=(т)
ЛТ , , ! • Z " /
t сел-/чы- к) пин. -- ft.an = о М У
' 'о Ш L.
(9. ?. Л)
Заметим, что границы областей устойчивости и неустойчивости расположены
при к = 0 и к = -м/ Z . При изменении к ^(КдВ)(-(<) осциллирует в этих
границах.
Мы определили я Л , Л z , Я 3 и я ^ как границы между областями
устойчивости и неустойчивости для заданного значения f0 . Если обозначить
через а., 4, с и d соответствуицие грани-
цы для случая достаточно малого i 0 , то получим
^ a. =-i}
<rr гр С f?/м)
Я х 4 = сп - - --------г-------;
1 М 7/ ГГ//У-
п <?" Мп ( п/г)
Я3*с**" -----------------,
Яу " d = J.
(9. 7. Л)
Можно разрешить уравнения (4.7.7, 8) относительно *1 , р , f и сГ,
пренебрегая малыми величинами ? с и (0 х ; тогда получим
7Г j м
J=i/xco'>-> p-t/boi
-лиъ ( ff/м) ff
(</. 7. Л)
где X. - один из корней уравнения
183
причем выбирается корень, меньший чем единица:
X
С 9. У.ЗГ)
( 9iT /У ) ~УСп- ( П/м)
Преобразование (4.7.5), определяющее связь J и а именно
( 9. if. 36)
(Гл - /3 6 = >
J. - If л
показано на рис. 4.12. Величина о обращается в ± ¦ значениях
3? соз (гг/м)
г
X -
?0 #*,(&/*) СоЗ(П/м)
7 п/у
при
(9. ?. }7)
Здесь мы воспользовались соотношением (4.7.35). Величина Л обращается в ±
**=> при
S
СОЗ (77/у)
10 ( П / м )
У " /м
X
(9. у. зг)
Рис. 4.12. Соотношение между <5 и Л .
* 134
а 6 обращается в нуль при
&in, ( fT/Af) to*- ;--------------
Я = -1-= 006 - +---------------------- ;-;------------------ (9.7.39)
П0 <f X l/соО (х/м)
При Л-/г(к)у т.е. кохда
-I <а <?е ¦W' С*/а/) 2хк
ГТ^\ ' 9! ео
t,(k)~c*\l^&№)гк) -му'-ц 7/У
-с#<>
( 9. 7 9о)
имеем
& 2 як
-Cvy ОСЪ ------------77~ 29ГК
. г. /¦) > 7^
м__________________________________(С.________________________________ ~
- соо- (9. 7. 4i)
Cci - ¦* АГ СО) ----------
V М
Таким образом, левая часть соотношения (4.3.25) принимает вид
f(k) -Mtfn/c/ss) ^
( Ы = Пп
0 ' л/г1~DZ)( У - к2 о2)
N -1
coi(Wk/AA)
do
о J /7-7?
л
ytrk
= -floa*ca>i [coo ^
=. ч _?1 (nod 2гг ) (9. 7. 9J)
' " Хк * '
185
С другой стороны, правая часть (4.3.25) имеет вид
* У \
"лй r.L)
*=с1 ~> j
~ \ <Я6
' 1/-У - Э~=>/
I)
= Я0 j2к(х)" J >/(2*/х*-л)(2*-1)
г г"° 7_
= fi0 \2K(^)-^ct3 х*1,
где
=аксс&' Л", •
Следовательно, из (4.7.37) имеем
('?. *-з; Л'- ^7
а учитывая (4.5.9) и (4.7.43), получаем
-^ = jw=2j и^-й0~^Т±. (>.*.")
*" * >! = сУ
Уравнения (4.7.42, 46) доказывает справедливость (4.3.25).
Если зе и k малы, можно использовать соотношение
