Теория нелинейных решеток - Тода М.
Скачать (прямая ссылка):
О 27L-S f 2rt)fznf±
( в. 33)
Следовательно, коэффициенты непрерывной дроби (А.20) выражаются через
коэффициенты элементарной дроби (А.28):
у _ ^П'Л Я ПИ s (fl, if0)
ftL
219
Эти окончательные результаты получены без обращения к коэффициентам,
порядок которых выше с они приложимы также к конечной непрерывной дроби
(А.20). Можно убедиться, что для малых значений гь условия = fl0 = 1,
B.j = 0 и Вл=2 дают сог-
ласующиеся результаты.
Для У~ имеем
^-н- Ргп 1 Yxn-г. )f 2n-d fan-i )f2п.
- + A 7L~d ^ ^ . (fl. 91)
Я п-л &П--1 fi n. & гг-1
X
Если положить t=-!\ , Xe= 1, X*,= ^м-п- (п =• -*) и Y",= ?у-гги . то
(А.20) даст /('Я) из (3.10.36). С другой стороны, если записать (3.10.22)
в форме элементарной дроби (А.29), можно определить <4 и 4nt используя
(А.40, 41).
Введем обозначения Я-п. = (2<Я'-г^)г, В^= 2Sn и А*'-?? в (3.10.38) и
далее. Тогда (3.10.51, 59 , 62) дают
Ы) _ с; eA^/n(J> (Аг -Л-)
~ Ц^С^е-л^Лм(Лг-Л^ ='V
5У?:,
и из (3.10.52) получаем
е *"э t- с i. ,
ГЛ) _ у = у- * , (Я. 93)
77w"hA'Aj fa Ы)
тде м k
Уравнение (А.43) соответствует уравнению (А.29) и (3.10.45) -уравнению
(А.20), где Хе = i , Хп=Яп и = йя. Поэтому = (2a-n)z и
Yn=BTt,=2tf.".=dri
задаются уравнениями (А.40, 41) как функции ск в (А.43 , 44).
220
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. СИСТЕМА ШТУРМА Пусть
1 "+Д (х) ¦= (**.х fC п.)/л (х.)+е/п, ins (*) (Б. 1)
при
Jn*0 (Б. Л)
*.*(*)-о, U(*)=i (B i)
(можно считать, что fc, - <-ow<- >¦ 0 ). Некоторые -i могут быть нулями.
Корни уравнений 0 (¦"- =1, 2, ...) называются систе-
мой Штурма. Теперь
U (X) = 4ох*С0 >
/д (х) ~ Х * С * )(l>oX**-О
(Б. 9)
Корень fd (х) = 0 ("j --co/i) лежит между двумя корнями fz (х) = 0. Это
легко уввдеть из графика (рис. БД). Методом математической
Рис. БД. Графическое изображение "системы Штурма": (•) -корни уравнения
-
корни уравнения in (х)*0; (х-А) - корни уравнения
(х) =о:
221
индукции можно доказать, что корни уравнения ~fn(x) = 0 разделены корнями
уравнения fnf l (*)= 0.
ПРИЛОЕЕНИЕ В. ПРОСТЫЕ КОРНИ УРАВНЕНИЯ Д*(Я)=4 ОПРЕДЕЛЯЮТ ВСЕ КОРНИ [B.I]
Пусть Л j будут корнями уравнения А (л) = 2, а Я ^ - корнями уравнения
&(А) = -2. Тогда имеем
Л(л)-2=/7^Л(*-л}) = Л^П(Я-А; )~4 (в.1)
( Й-<А-йл2 ... лл.). эт0 0Яначает, что если заданы Я • , они определяют
Aj , и наоборот.
Пусть а" ( i - I, 2, .2g + Z ) - простые корни уравнения Дг (А) = 4 и Aj
- остальные корни. Тогда можно написать
Ъ'Д / П / * \г
У
с некоторой постоянной (для краткости предположим, что Я ^ и Д j отличны
от нуля).
С другой стороны, пусть А ^ являются корнями уравнения
А'(а)=Л(а) /а1л = 0 , находящимися меаду Яи Ajj,j. Это очевидно (мы
опускаем доказательство). Поскольку Аи - двойной корень, он также
является корнем уравнения А' (л) = 0. Поэтому можно записать
47а>-^ С61>
с некоторой постоянной Сг . Таким образом,
ft,,
^-Аг(я) ^тся-pJr
где с j - постоянная. Пусть теперь
й(я) =2 coif-C*)} (В. У)
222
тогда
<Уу- А' (*) А' (Л )
J, " -" - - -------------------- - ± -
с/л 2 пп. f- v'V-й* '
Л (Л-Л '*_) Я П(ъ -л*;)
= Су - ^ СВ.6)
с C^-iCi . Интегрируя, получаем
г Р (*-К) .
JJ?~ (Я-Л* )
*1
Поэтому для очень больших А получается Я* • " •
Но тогда & (Л)~ fl'J (¦¦ *) • Отсюда видно, что
с".,^ГГл-. (В-*>
Далее, поскольку А1 ^9 и А вещественно в промежутке
[я" j 7 А°. /, ^'является чисто мнимой величиной в этой области, и J
</
+ №ы)-Г(**< )*vGr^
с
где <? - некоторое вещественное число. Однако Я - корень уравнения А* =
4, Это подразумевает, что J = г 2 или
+ (*ц)=* "'j*1' (*">
при некотором целом т . Поэтому J
tl= ^ = rr + sfity*^6- (Б.П)
Таким образом, А = 0, и f 2> - j) f~ 2J )•
Вследствие этого имеется система уравнений А
0 3
'!• Г**"
4rJ
223
Она определяет Я к как функции от (ЛJ ) , а значит, функция у- (т>)> а
также все корни уравнения Аг(л)='Ь определяются простыми корнями Я с- .
ПРИЛОЖЕНИЯ Г. ВЕСЬ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ СПЕКТР р • - ПРОСТОИ
J
Уравнение для (п.) имеет вид
(*) + *¦ (П-Л)-Мл (п). СГ.Л)
Дифференцируя по Я и обозначая У й = ci /d Л , получаем
сь-п, Vj (п-и)+4.п, у' (п-л) = Ул (п)+я Ул (к).
(Г. 2)
Умножим первое уравнение на (п), второе - на Уг (rL > и вычтем одно из
другого, а затем просуммируем по ^. В результате имеем
? [л-п. V'j (nn)Yj (п)-а*-л *Л (*ОЧ>1 (*-*)]-
*rt , г
-H 4>л Ул ("¦)•
(Г. 3)
Поскольку дополнительный спектр удовлетворяет уравнениям
= (ri)
Ч[ (O.fj t'V;
ТО
*
224
Поэтому
(Р6)
elV j (Mtl, Л ) I ^ 0
d%
Второе уравнение означает, что /> ¦ - простые.
J
ПРИЛОЖЕНИЕ Д. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА Рассмотрим полином
степени н
Р(х)=Л (х^хе) fA-J>
С -О
о константами х{ • По теореме Коши для контура, охватывапцего все Х? ,
имеем
* / +Р__________h (А. г)
2т У P(t)(z-x)~ Р(х) р0 P'fxj)(Xj-x)
С другой стороны, интеграл в левой части равен интегралу по бесконечно
удаленному кругу
, -т
2ni§ Р(г)(г-х) *-""> P(R)
Поэтому
х т х(tm) (о (0¦& т ¦?ъ),
Р(х) P'(XJ )(XJ ~Х) \d (7П=71*Л)Г
где
(л'*)
Если положить х = о, получим
m-i , , .
j-c $j, (Х1 1 11
г mdi *
= -X- ¦ (*¦ J)
