Теория нелинейных решеток - Тода М.
Скачать (прямая ссылка):
Аналогично при л = 2 для <fz (т.) имеем
fz(">=(л *;Т[*"'*-(z <;)*""'*•¦¦ I с"• *"
J d
Теперь, заменив и. в (4.1.3а) на гь*М и вопомнив соотношение (4.1.1),
видим, что Ч± (п+м) и V'j (ти-м) также удовлетворяют уравнению (4.1.3а),
поэтому их можно выразить как линейные комбинации tf1(n) и (п). Таким
образом, можно записать
<f2 (М+п) / \ 4*2 (п)
где М- матрица 2x2. Полагая п = 0, 1 и используя (4.1.5), можно
определить элементы М как
м _ (*Л (* } (Mf*} ), f*-*•1й)
" - I Vi (А ) Ч>2 (tf+*) /
где М- так называемая матрица монодромии. С другой стороны,
Ул 0 удовлетворяют уравнениям я-п (п+х)*-ёп Ч'л Сп)+ап.Л Ч>Л (п-л) = Я
(9.1 iz)
сь-п (¦*'*)s Я ч>г (п-);
исключая из этих уравнений Я, имеем У = /V, (*ъ)*г (пи)-Ч>1
{п+*)?2 (п)] =
= ап-а[^л (п-1)Ч>2 (-п)Ч>2 (п-i)]. (Ь.й.И)
Данное соотношение представляет собой дискретный вариант врон-окиана У,
записанного для разностей (п+1) - УЛ (-п.) и y>2 ('ч + *)-Ч,2 (п).
Заменяя п на у и заменяя ть на I в другой части равенотва, получаем У =
(и) ^ (*+*) 'Сг (#)] =
= (о)*г (D-Vi <*)Ч* (е)] =
= ас ; "г- J. 1 <*)
135
здесь мы использовали (4.1.5). Далее, так как имеем
(^)^г (/r+J)-Y± (/r*i)<f2 (Л')=Л- (9.1.1 у)
Для некоторых специально выбранных Я решение Ч>Ы) (4.1.4) может быть
периодическим, а в общем случае решение удовлетворяет условию
эта величина называется дискриминантом. Функция опреде-
ленная условием (4.1.16), называется функцией Блоха (первоначально этот
термин использовался для волновой функции электрона, движущегося в
периодическом электрическом поле внутри твердого тела). Факт
существования такой функции известен как теорема Флоке. Решением
уравнения (4.1.18) являетоя
Уравнение (4.1.19)имеет место при любом выборе фундаментальных решений.
В качеотве простого примера рассмотрим цепочку в соотоянии покоя:
С 9. i. it)
что для -п= 0, 1 дает
(с1 (*)+ с2 У2 С*''* 3 '
I (A tl) + C2 4*2 (*-и)=РС2 ¦
I
с 9. 1.17)
Следовательно, р является корнем уравнения
р2-й (Л)р+й =0\
где
Ь(л)=Ч>л С*)* *2 (ft'+i)-
( 9. i. 19)
( 9.1. ге)
(9.1. 21)
Тогда (4.1.3а) сводится к
С 9.1.22)
Ищем решение в виде <f~ eocp (± tin) . В результате получим
136
/• " -H/t ¦A (ft-Л)
<fd (n) ------------:----;-----,
Чг(п) =
¦lit t J.
tin- J ft.
---------------------
'Уш. JL
(f. /. 23)
я = СОЗ JL .
Дискриминант в данном случае имеет вид
А(Я) = 4&TZ~ (*'-!)+'**'¦ и См* /)] = '
= (Ь././<,)
для /я / ^ 1 он осциллирует между ±2. Корни 'А- уравнения
йг-*/=0 (Jj =fr/Af, j = О, 1, 2 ff) двукратно вырождены,
за исключением j = О, /Л , Для / я I т-й корни *1 мнимые, а для Я03 1/3
(Л)1~>°о (рис. 4.1). Когда Я удовлетворяет неравенству
(2) - */, (</. /.IS')
Рис. 4/1. Зависимость А (%) в случае отсутствия движения. п четное, ? = О
(число простых корней равно 2 ).
р, согласно (4.1.20), вообще говоря, комплексно, a /р/= I.* Таким
образом, такие Я принадлежат к области устойчивости, и, следовательно,
решения устойчивы . Если Р = 1, то период решения равен я/, [Ч>(ntM) = <f
(n)]t а если р = -1, то период равен 2А'[Y(n+X) = -<f(-n)]. в случае
когда
Я принадлежит области неустойчивости. Корни уравнений й(Я)-2=0 (к.
1.27а.)
и
й(Я) + 2 ~0
(9./.27J)
соответствуют собственным функциям с периодами X и 2/f. Легко видеть, что
они являются собственными функциями матриц L* и L
137-
соответственно, где L* и L определены как
¦
г=
л.
Sz
to.,
'Л^-Л
ff-x
'¦ Со
Л
С 9. i. 2S)
Так как элементы этих симметричных матриц вещественны, их собственные
значения также вещественны. Докажем это. Пусть L - симметричная матрица,
а и. есть ее собственная функция, соответствующая собственному значению Я
. Если обозначить звездочками комплексно-сопряженные величины, получим
Я и • и. = и, Я * и. - и
L ¦ и.
- и, • L ¦ и* - ч ¦ L ' и.
и тогда
(А-Л*)и *-Ч =0.
Следовательно, Я вещественно. Все собственные значения (4.1.28) поэтому
тоже вещественны.
Уравнения (4.1.8, 9, 19) дают
&(Л)=(Г]1 ^)л *-]• (9.1.М)
Так как уравнение 42(я) = 4 имеет 2Хкорней Я ? (4 = 1, 2, ?у)
имеем
/ и \"2
Ьг(я)-^({1 *j) Л (а-*г).
j~л
Если значения Я? пронумерованы в возрастающем порядке (рис. 4.2), то
(9. 1. 30)
Только интервалы [Я^ , = I" 2, ... ,И- 1) могут вы-
рождаться в точку, давая двукратно вырожденные корни. Спектр (4.1.31)
состоит из двух переплетающихся оерий, одна серия -корни 4-2=0, а другая
- корни 4+2 =0, как показано ниже.
138
Рис. 4.2. Зависимость &(А) в случае наличия движения, пг нечетное (=11),
ft = 4 (простые корни пронумерованы перед дву-- кратно вырожденными
корнями).
Чтобы доказать чередование точек спектра, мы попользуем два решения
(4.1.3а) о разными Я :
Ч>С-п) = Ч>(п,л) + (n) = ffn, Я';. (9.J.U)
Согласно (4.1.3а),
(Ъ- У)ч(-ц)+ (ъ) = f " ч(-пт)*4п <f(n-*)]-
~ 4>(п)[в'7г f-(n-n)+4ni'{n)+(Zn-i f(n-t)]=
(9.1. 3i)
= [tf(TH±)^Crv)-if(TL)f(7Zi-i)J-- cc п.л [4('"')f(-n-±)-Y('n-i.)j'(n)]}
так что
(yy)JZ
П*±
= <zA-[<f (А7i)+ (*)- f(/r) f(A'<-i)]-ci0{<f(i)f(eyy(v)f(i)]. (9.1. н)
Применяя это к двум фундаментальным решениям
