Теория нелинейных решеток - Тода М.
Скачать (прямая ссылка):
пропррциональных ?**, то, вычислив разность (3.11.28) и (3.11. 29) и,
воспользовавшись (3.11.32), получим
wr-Ttf'=-(ufxX3c-'w'xxx)+'5('u'x-v/x )• f3.JJ.3i)
130
Уравнения (3.11.32, 33) и есть преобразования Бэклунда [3.IB] для
уравнения КДВ, записанного в виде
VSf- - 3 ^х + ххх. ~ 0 ~ ^х )• (3.31. 3</)
Глава 4 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
В этой главе мы рассмотрим периодические цепочки /. Как мы видели в
предыдущей главе, в случае бесконечной цепочки использование метода
обратной задачи рассеяния приводит к дискретному уравнению Щредингера.
Для периодических систем это дает дискретное уравнение Хилла; вместо
данных рассеяния в этом случае цринято использовать спектр диокретного
уравнения Хилла и дополнительный спектр уравнения при фиксированных
граничных условиях.
В данном случае важную роль играют фундаментальные решения и дискриминант
уравнения Хилла. Дискриминант представляет собой полином от спектра, а
интегралы движения выражаются через эллиптические интегралы. Таким
образом, решение начальной задачи сводится к решению обратной задачи
(обратной задачи Якоби), или к обратной спектральной теории. Чтобы
исследовать эту задачу, мы раоомотрим спектр на комплексной поверхнооти и
интегралы на замкнутых римановых поверхностых. В качестве простого
примера вновь возьмем случай кноидальных волн и, наконец^ целью
подготовки к следующей главе приведем конкретные вычисления для системы
из трех частиц, покажем некоторые ооотношения между дискриминантом и
дополнительным спектром, рассматриваемым как набор динамических
переменных.
4.1.ДОСКЖ1Н0Е УРАВНЕНИЕ ХИЛЛА
В настоящем разделе мы обсудим начальную задачу для периоди-
Часть настоящей и последующей глав включена в работу [4.7].
ческой цепочки с экспоненциальным взаимодействием между ближайшими
сооедями. Предположим,что система состоит из X частиц, а примеси
отсутствует. Для динамических переменных будем использовать такие же
обозначения, как и ранее: (t), -?п = в"_(t).
Условия периодичности записываются как
= а-п. , = #п. - (</¦*.*¦)
Удобно рассматривать бесконечную систему
2>
составленную из таких лп и . Для зтой бесконечной системы рассмотрим
уравнение
где Я - константа. Поскольку коэффициенты ссп и ?п периодические ,
написанное выше уравнение есть дискретный вариант уравнения Хилла [4.1]
d2if/Jx2+ (^-u)<f=0> u(x*L) = U,{x)t (t.J.JS)
поэтому в дальнейшем (4.1.3а) будем называть дискретным уравнением Хилла.
Это уравнение является разностным уравнением второго порядка, которое
может быть решено относительно V (¦*¦), если, например, заданы у (о) и
Ч'(л-) - значения vfn) соответственно при tv = 0 и ть= 1. Найденная таким
образом Ч(гьи вообще говоря, непрерывна н может раоходнтьоя. Рененне
называют уотой-чивым, если ф(ъ) не расходится. Ниже будет показано, что
устойчивые решения образуют зоны спектра я, а между этими устойчивыми
зонами расположены зоны яеуотойчнвооти (щели)У. Такая структура спектра
определяется хп и ,и, наоборот, структура спектра накладывает
определенные ограничения на вид ал и ? . Хотя задача нахождения и по
известному спектру так-
ие является обратной задачей, в случае периодических систем мы не имеем
асимптотики решения на бесконечности, или данных рассеяния, поэтому
данную задачу более уместно называть обратной спектральной задачей, чем
обратной задачей рассеяния. Будет показано, что, если из начальных
условий известен определенный набор данных, мы оможем определить
дальнейшую эволюцию цепочки.
УВ литературе по физике твердого тела их называют соответственно
разрешенными и запрещенными зонами. - Прим. перев.
133
В данном случае необходимые данные - это опектр, не завиоящий от времени,
и начальный дополнительный спектр. Так как обратная задача для
периодических оиотем более олохная, чем в олучае бесконечной цепочки, вся
данная глава будет посвящена иооледова-нию этой проблемы. Начнем с
изучения некоторых свсйотв дискретного уравнения Хилла [4.2, 3J .
Так как дискретное уравнение Хилла (4.1.3а) - разноотное уравнение
второго порядка, для фиксированного Я имеем два линейно независимых
решения (фундаментальные решения), а произвольное решение уравнения с тем
же Я мохет быть записано как линейная комбинация этих фундаментальных
решений. Обозначим фундаментальные решения (-"= ^ ^ ) (4.1.3а)
как У* (п-) =
~4±{п,л ) и Уг(^) =^("|Я). Произвольное решение Ч,(ъ) = ¦=3^(12)%)
запишется в виде
lf(-n,) = Cj (n)+Cz Ч>2 ('rv)' ^
Хотя последующие результаты останутся в силе независимо от выбора
фундаментальных решений, для определенности мы будем использовать
фундаментальные решения, определяемые граничными условиями
(4';t(o) = ly Ч'1(1) = 0У
I C9.J.S)
}Г2(0) = 0У ?л(л)=1.
Когда эти решения устойчивы, мы мохем очитать, что <А, (-п-) и Уг (п) -
функции, подобные соответственно косинусу и оинусу. Записывая (4.1.3а)
для (п), имеем
(9.J. С)
решая последовательно эти уравнения, получат
С У- ?)
134
В общем случае при и г 2
4>й Ы)=-а0 ф'а,. j" [*п'г- (д ]. (*. i.&)
