Теория нелинейных решеток - Тода М.
Скачать (прямая ссылка):
производящую функцию канонического преобразования в ввде
J (3.9. Г)
Здесь fi, JL - константы; для положительных (отрицательных)
R мы мсием выбрать /) = 1 (Л = - 1), сдвигая все 6п на соствет-ствуицую
постоянную. Тогда каноническое преобразование дается соотношениями
f дУ -(Qn'&n.) * -(О-п'&п-л)
if = --=fle +-ге
1 д&" у (3.94)
, 9V а -(Q^'Qn-) * )
+ J..
Если мы опустим аддитивную постоянную, преобразование примет тст же вид,
что и (3.9.1). В качестве граничного условия предположим, что Qn и &п.
стремятся к постоянным значениям на бесконечности. А именно
Q-~> >
(3. 9. Г)
Qn~*&<*, > fa-* у 00 Л
Так как импульсы Р и обрашаютоя в нуль на бесконечности, то
/Т
. . (3.9.Ц)
fte( ^Те
Эти соотношения определяют связи между J-, Ду т и т* Д*
108
А именно
z -г )' <>¦'¦'>
= 1 2 ГТК 1 + ~Т~/'
где мы предполагали Л ^0 (случай /?<0 может быть рассмотрен аналогично).
Из (3.9.6) подучим
Следовательно,
*р' =y,t т 4 cotuyt (3.9.11)
^ 'Л ^Г.сгэ Я-"6(r)
а используя еще раз (3.9.6), получим
" V . >7 / - (& п+±~ О.-Я,} а~((r)п Q-Vt-л)
Е Г(К+и)2-(Рп^У]=2Г> (е ~ -е *W.
ЭТ=-"= я-"" (3.3.12)
Таким образом, с учетом (3.9.11) имеем
"=• ,*=" -/Vo'-о' ¦> Y **=' г ""
±TL ? +Т* еЛ*в^ЦЕР^Е е \w.
~ (3.9.13)
В общем случае каноническое преобразование, определяемое производящей
функцией Тл/\ преобразует гамильтониан к виду
н'(а\р')-н[а(а\р'),р(а' р'>]+ -§f;
следовательно, каноническое преобразование (.3.9.5, 6) преобразует
гамильтониан (3.9.4) к новому гамильтониану такого же вида:
н(&',р')=4-ё, (3.9.js)
*- "О 'П=-СХ>
Другими словами, каноничеокое преобразование преобразует цепочку о
экспоненциальным взаимодействием в такую же цепочку. Это означает, что
если мы имеем набор ( Q., Р ), дающий некоторое возможное движение
цепочки, то каноническое преобразование определяет другое возможное
движение цепочки ( Q.", Р' ). Так как уравнения движения дают ftп=дН /др-
п и 0.^=дН'/дР^=
р^ , то соотношение (3.9.6) эквивалентно
Г ' - (О- Q-n ) 1 ~ (@-п~ Q-п-.1^ J
= , 'к* . _е/' ,,ЛЛ,
j ¦/ _ ~(?1^ь~йп) j ~(Qn+j-t2n)
(Q*, = /?e -ft.
109'
Если задано решение й^- то, решая уравнения (3.9.16)
(они являются дифференциальными уравнениями первого порядка по времени),
получим другое решение ?}'п (?). Преобразование
Бэклунда связывает различные решения соотношениями, которые имеют меньший
порядок, чем исходные уравнения. Впервые преобразование Бэклунда было
введено при изучении геометрической природы уравнения ъп-ф (синус-
уравнение Гордона). Иногда со-
отношения между решениями различных уравнений также называют
преобразованием Бэклунда. Уравнение (3.9.16) является преобразованием
Бэклунда для цепочки с экспоненциальным взаимодействием и может
рассматриваться как каноническое преобразование. Далее, сравнивая
(3.9.16) с (3.8.16), видим, что (3.9.16) имеет такой же вид, что и
система КМ; отсюда ясно, что рис. 3.1 показывает преобразование Бэклунда
для цепочки с экспоненциальным взаимодействием.
Уравнения движения цепочки допускают тривиальное решение
В соответствии с результатом задачи 3.8 (разд. 3.8) соотношение (3.9.16)
дает
Если мы изменим фазовую поотоянную сГ на сГ+ #/2 ? , то получим другое
решение,
(3. 9. //)
сА [зе (п-л)+/it + сГ]
(3.9. Мл.)
?
где сГ является фазовой постоянной, а
Z+ г"1,
(3.9.1 г*-)
?
и, таким образом, получим солитонное решение
-зесА*(зеъ+pt + cf). (3,9.19)
110
которое, хотя и расходится (антисолитон), дает возможное частное движение
цепочки с ограниченной областью применимости.
П. Рассмотрим два последовательных преобразования Бэклунда [3.10]7
характеризующихся соответственно.наборами (fti% и (liz, tz ). Мы
различаем два пути, иоходящие из <2^ ; первый путь находим 0.(ъ через
(Д^, 2^ ) и затем GL%2) через (Дг, iz) и второй путь - находим (Я^через Z
г ) и затем Л<^й). Далее требуем, чтобы (рис. 3.2). Мы вводим гра-
ничные условия ГМ гм Лг> (!) <z) с*> (2,2) (1,2) ,
а(tm) 'Г , dl~r , в-~'г ,a.L-r ""¦">
, (о) , (1) (2) (1,2)
для if , у , у являются константами). Запи-
сывая преобразования в соответствии с (3.9.16), получаем
"¦Csr'-tj
j ? К "п (_ ()->-22а.) -о
j /я", .-kw'-C/Pi
dt
/ a) d,z>\ Г
/12] (1,2) (2) (2)\ /г, <*• 2) (1,21 (Z1 , '2)) j , & "(*,") у г-си А -г
) -fen-i-r -ая./г )
-е J
\
ГД6 (2) (1,2)
, ГиН'".й ег -С ,
tj = d±e
у (в), у (2) у(1)_г(1>2) (3 9. MS)
*Z=H2e =^6
(01 0,21 _ ^<й) , y-U)
у ч ч ч .
Если мы исключим производные по времени из (3.9.22а), то получим
г -(аш-(аи)-у(2)) 1 +(atC) -гев>) j, ,L е "-J г '-гге Je r
1
* у ,(*"'-r"4 *(*2-r№>lt-(*'Z"-r "¦*')_
+ [zze -*ie
. С3.9.Л)
111
Рис. 3.2. Суперпозиция двух преобразований Бэклунда.
Отсвда видно, что не зависит от 7г. , а так как Фп-*0 при
71-* - > ТО
= О
1 7г
(3.9.24) Следовательно,
nu) с'г) "(з> , (з)
гз,г) (з,2> (°) (о) а".-Г &TL
в-3. -г V ~zJe
2 (3 2.2 Г)
ИЛИ . .
а(3,1) (3,2) (С) ("_
? ъ J J ~
а(2У_ С2) $<ГЗ) (з) (л) а) (г)
<v "" с , Г*. а С -у- +Q - у-
_ г^е_________________- е__________________________ ия*а / <г
