Теория нелинейных решеток - Тода М.
Скачать (прямая ссылка):
мевду ближайшими соседями.
I. Пронумеруем собственные значения A j (j' = i, ,..., м)
Ly = я у в данном случае так, чтобы соботвенное знечение о меньшей
величиной имело меньший номер, предполагая, что вое собственные значения
различны.
Я* ^^ ^ . СЗ.ло. J)
11 Постоянной величиной является олагаемэе в выражении для сшлы. - Прим.
перев.
Из интуитивных соображений нснс, что при t -> ± "*=> все частицы будут
рааделены бесконечныыи расстояниями, и поэтому в данном пределе сг,п -
(й/л)еоер(-Х^/г)-*0, следовательно, в матрице L останутся ливь
диагональные элементы = (1/2 )РЛ, т.a, L асимптотически становится
диагональной матрицей. Таким обрааом, имеем (рис. 3.3)
Р3 рг р1 Рис. 3.3. Случай Мозера.
(t ->-**=>), (t ->+<*>).
(З.Ы. з)
Иа (3.10.1) имеем граничные условия
&(, ~ ~ о ~ ^ АГ+
так что, как и в (3.8.1, 2), элементы матриц L и Q в верхнем правом и
нижнем левом углах обращаются в нуль. Следовательно, уравнения для
собственных аначений L 2 j У'у и уравнения движения упрощаются как для 7t
- 1, так и для it = И'~. в частности, для it - 1
ал if (2, о+4* V: (*,?) = ч>(^ Ц (з- Ю. ч)
а .
<fj (3,?)=-а,лУ/ (3.JO.S-)
Гак как tfj (к,?)для различных п ортогональны, после нормировки получим
Е V; (ft^=сГял', C3.jo.6a,)
/•* ' J
? if. (к, in, t) -fjj' ¦. <*>
* 4
117
Следовательно, (3.10.4) дает
)С Я : 'ff (*,t) =*t , (3.10.*)
а переписывая цравую часть уравнения (3.10.5) и используя (3.10.4),
подучаем
V,- = ~ Ji ^ ^
где мы учли, что из (3.10.6а) следует ZL V* (1,6) -0.
Решив (3.10.8), имеем j'1 J
Z -2-A;b
tf.(J0)e
ipZ. / л t. ^ - -J.------------------ * (3, Jg. 9}
r, (dyt)- ^ I t
J Г 4, M)e 4
6=1 *
В самом деле, взяв натуральный логарифм (3.10.9) и дифференцируя его по
времени, вернемся к (3.10.8).
Система, описываемая T> = fa?v> с помощью отображения
Ъ -ьЛ преобразуется к виду
J\ = [) 1 ,... ^ Яуу } V5 j (1, t),..., ?jr(i7t)]) (3.lo.lo)
где ZZflj lrs(3,t)}z=i.
Поскольку полный импульс сохраняется: Ln 4.^i/zZ
-п, ~ )
размерности обоих пространств равны 2/е-1 . Отображение Л-¦" D является
обратной задачей по отношению к случаю ?>->у\.
Для /Г= 2 имеем 1-(^и %*) . так что Lfj = 2j fj для j = 1 сводится к
1
V, n (1, ^ (Z t) = ^ Ъ ?),
(з. ю. а)
[я-1 4*1 (*> ^ + t-) = (),
и, таким образом,
-V, Й, t) - У, ft, Ч = ^ ft, t). O JC.12)
Из (3.10.66) также следует, что i = </>* (3,6)tfz (2,6)=-
118
Бели мы заметим, что след L вычисляется по формулам
?>/t> jL j = lf_i + - Я ± + Лг , (J. jo. j<s)
то получим . _
toZ (i i)- ± ¦ Z - ¦ (З.Ю.1Х)
f± (2,t)~ яг.Дг > ЯЛ-Яг
Аналогично для j = 2
Ом)
-tf, - Я-, ^ , ,
О Jo. Л)
Разрешим эти уравнения относительно /j и , а (3.10.12) -относительно a 2
через ^ (iyt) и получим
<6z = *г ft ^1(й> Ь)У (3.10.1Г)
)<ел(*, ?)^z
где мы предположили, что fi(i,t)f2(i,t)^0. Если (3.10.9) при Jf = 2
подставить в (3.10.17), то 4л, 42 и ал будут выражены через начальные
условия ц\ (1,о)> у ?./, 0) •
П. Для случая ,v^2 нам надо знать общее представление отображения
(3.10.10) ?3.77. Для этой цели мы обозначим через я ^ корень уравнения (L
-М) f = 0. Тогда видно, что элементы (L-MY* могут быть записаны как суммы
(Л к -л)~*. Действительно, из равенства
ЬЧ'к=лкч,к следует, что
(м.!*)
поэтому, если
Я^(Ь-л1)~*у (З.Уе.го)
Следовательно, еош^СЯ) есть элемент (I, I) матрицы К , имеем разложение
на простые дроби
у у*
(3. 30. 22)
где мы выбрали вещественное выражение для Ч к(з) и положили
I 2- ,
г = V" (1).
к ^
Устремив IЛI -" "=, получим
У
(3. 30. 23)
г
(3.30.2У)
К = 1
Если мы представим /?14как функцию и , то (3.10.22,
23) будут связывать их с у>? (t), которые даются выражением (3.10.9);
таким обрезом, завиоимость динамических переменных и
от времани можно легко найти. Мы имеем уравнение
del К = [Jet (L-Л 1)]~\ О- **-
которое связывает я о deti L - я1 ). Можно показать, что
элементы R, и в частности Ri± , могут быть выражены через миноры
определителя Я . Чтобы показать это, введем определитель
У-ft *3
'-''П. О. П-
-Я
- Я
'С* -я
Я'*'-!
CL
*м-Г
; (з. ie.it)
это - определитель матрицы, которая получается, аоли опустить первые n-i
строк и отолбцов. Если разложить й то полу-чим
й*-* > (3-10iS,)
а в общем случае -
&М-П-1 (*=1,2,...).
(3.10.2*0.)
Если
й.г°" Ks±> (3.JOM)
то (3.10.28а) будет иметь место вплоть до п=К. Теперь введем мат-
120
рицу Я* 1 с элементами
е,(^)=? гки)гк(*>=*а rs.jo.29)
к-1
и матрицу X Я* I, определенную как
г, ¦ Ьм *'
к-1 А К " *
Тогда (3.10.21) дает
Re±=X. fJ.Jo.jj)
Используя (3.10.19), можно переписать это как
(L'*Z)Z = ei- (3 Jo jj.)
Записывая каждый элемент, мы, таким образом, получаем систему уравнений
(€j-*)Z (l) + GLJ 1(2-) = ±7
) а,л1(1) + (4*-*)*(г)-Ю'г*-('3)*0> fs.io.si)
[о'м-х г(я-з)+(4м-я)г(л) = 0.
Определитель коэффициентов Zfn)eсть а из (3.10.30) видно,
что zfs) есть Ri±. Таким образом, находя из (3.10.33) ifi), полу-
чим ^
1(я)=Клл = *'¦<'*)= /'* ' (J зо.зз,)
As
Переписывая (3.10.27), имеем
А " ^1 (З.ю.ц'а,)
А Л--1
'з Л &,
A,v-2
и аналогично из (3.10.26) -
