Теория нелинейных решеток - Тода М.
Скачать (прямая ссылка):
& и- n*i _j _ 0 _ а-п. . (х jo. 3fcf)
tzz ~ 4^,
и/г-п-1
Следовательно, последовательными итерациями получим для f (X )-R11
конечную непрерывную дробь [3.7J:
±
Таким образом, имеем два выражения для одной и той же величины + (а):
проотая дробь (3.10.22) и непрерывная дробь (3.10.36). Сравнивая их, мы
можем выразить и О'^ через Х-3^ , воо-пользовавшшоь методом Стильтьеоа
(ср. приложение А) [3.12]. За-вмоимооть от времени х^. = х % (Ь) даетоя
(3.10.9, 23). Следовательно,
{"*!),
I ,/• ) Г ) \ CJ.Jff.-39)
)лп =cin({xK (о)}} {**}),
что дает решение обратной задачи отображения (3.10.10) (конкретное
выражение приведено в приложении А) и определяет иной метод обратной
задачи рассеяния для цепочки с экспоненциальным взаимодействием.
Ш. Можно вычислить непрерывную дробь (3.10.36) и временную зависимость
простой дроби (3.10.22) без обращения к формализму Лзкса, используя-
сохраняющиеся величины Хенона, т.е. интегрируя уравнения движения с
помощью этих величин [3.13] . Во-первых, положим
=e-f6^-aJ) = C2cxJ f,
J (i.JO. ig)
тогда уравнения движения цепочки примут вид
¦ ажз,)
clt * J ' ~Jt
С другой стороны, используя интегралы Хенона (2.10.19), т.е.
/г Э д2- \ м
jn"t.
построим сохраняющуюся величину
* (-Л)*~п / "~1 дх \
jj (А)=?о (/Г-П)! (Ч'Л)'
Сз. ю. 'ti)
Разлагая цравую часть (3.10.41), видим, что
1±(Л)~ det (21-Л1). CJ.Jff.9J)
Таким образом, корни уравнения fs (Л) - О есть просто удвоен-122
вне собственные значения Л')г
Далее, определяя 7
т.е. .
П (Bf Л)} (з.ю.'.з)
видим, что имеет место
fk (A) = (Bk-A)i^± М-Як fk+2 (A).
(3.10. 9М
Теперь вместе периодической цепочки мы рассмотрим, следуя Мозеру, цепочку
с концами на бесконечности (= _с*°, вщ =-*<=<=, так что Яо = йу=0 ), и,
таким образом, концы цепочки не связаны с движением внутри цепочки. В
данном случае можно также использовать интегралы Хенона. Пусть далее
Поскольку в (3.10.44а) Як^0 ( к = 1,2,..., Л" - 1), корни уравнения -f к
(Л) = 0 образуют последовательность Штурма (ср. цри-ложение В); и поэтому
каждый из ник расположен между корнями уравнения 1kfi(A) = 0 .
Следовательно, для корня _Д j функции (Л) имеем i к (А^)Ф 0 ( к * 1).
Из (3.10.44а) имеем разложение в непрерывную дробь
оравнивая же (3.10.27) и (3.10.46 , 42), видим, что
(А) -Л"-1..-. (3.ю. 9?)
fd (Л) 2 йм
Отсюда находим, что непрерывные дроби (3.10.45 и 36) эквивалентны. Из
(3.10.46) получим
(3.10. 99сГ)
fx (А) _
i.
( 3. ло. is)
в*-А
В частности, при к = I (3.10.44а) сводится к
(A)=(BU-A)iz (Л)-Ал i3 (А),
(3.JO. 96)
(з. ло. 9г)
123
Зная корни Л i Функции j± (Л ) , можем записать
j (Л) = Л (А1~А); (З.10.П)
1 Ы
отовда
где /7^ получается, еоли опустить в произведении множитель (А: ~Л). Если
в (3.10.50) положим Л=Л:, то
ЭЛ; _-------------------Ы'А/)--------------
Эва - gv(At-Aj) " -а>
Таким образом, из (3.10.49-51) имеем разложение на простые дро-%(Л) f
9Лл/дВл U (A) fa
1 (3.JO.SJ)
A-Aj I (Аг-Aj)
Далее, полагая в (3.10.46) А=Л:, подучаем
А
/ /з \ _ В1 'А/ ... (i.JC.Si)
KlTJj *1
Здесь и в дальнейшем используется следующее сокращение:
ikti (Aj) = (fktl / Ак ).
Если (3.10.53) продифференцировать по времени, используя (3.10. 39) и
граничное условие А0 = 0, то
В общем случае .
* кж?' '***
что может быть доказано методом математической индукции. Пере-
124
писав это в виде
d / f JjsiL ^ -__^ P. а ^ ^
dt ( tM ).='d^flx- (WW- + (fkil //H). '
4 J
(г.do. u)
просуммируем от j = 1 до /6 и получим
J / {*Uj) Г Г ^
dt п йл /?г ... я"± ~ Ъ (AJ ^~6y~Aj ' (ъ-10 &)
где мы учли, что, согласно (3.10.44а), fd (Aj)=0> f (A)=i и /д,
(Aj)=BM~Aj . Следовательно,
-?дА(tm)а2_=и"-л, ¦
^ 1Z(A*) к J
Таким образом, вводя не зависящую от ^ величину Р = F(t) и постоянные Cj
, которые определяются начальными условиями, видим, что (3.10.58)
удовлетворяется, если jx (Aj )mCje ~AJ1 / Г. (i-Jt s*)
Чтобы определить Г, заметим, что АГ *
j = б/. (s.io.60)
1 г1 J-'1
Тогда, как следует из (3.10.51),
ST м дА • м f,CA,)
j- - -----=77, --------------- > (у io.ii)
1 двх 36± ^НАг-Aj)
и, подставляя (3.10.59), окончательно получим к f е-А^
Р=У -----------±----------------------------- (3.10.61)
F ^ у<*>(лг-л4)
Если подставить полученное выражение и (3.10.59) в (3.10.52), то получим
-fx (A)/fi (Л) как функцию времени, представленную в виде разложения на
проотые дроби. С другой отороны, та же величина fz (.A)/f* (А) была
представлена в виде непрерывной дроби (3.10.45). Отсюда мы можем найти
коэффициенты flj и Bj методом Стильтьеса (цриложение А) как функции
времени T3.14J. Изложенный выще метод, по-видимому, наиболее прямой метод
получения решения с использованием сохраняющихся величин. Ана-
125
логичная идея, возможно, применима к периодической цепочке, хотя в
настоящее время на зтом пути уопехов нет.
Задача 3.10. Приравнивая (3.10, 36, 22), вычислите (3.10.17) для олучая X
= 2.
Задача 3.11. Используя (3.10.54), докажите методом математической
индукции (3.10.55).
Указание. Записав (3.10.44а) в виде
